Flusso attraverso una superficie

[mauri54]

Ciao a tutti.
Questo esercizio mi sta dando dei grattacapi.
Sia $ S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=16,\ (x+2y)^2+4(y-x)^2\leqz^2\} $ e consideriamo il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(x,y,z) $. Calcolare il flusso $ \int_SF\cdotn\ ds $ dove n è il versore normale a S che punta vero il centro della sfera di centro $ (0,0,0) $ e raggio 4.

Io ho pensato che essendo F un campo vettoriale centrale allora $ n=-F/|F|=-1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}(x,y,z) $
Di conseguenza
$ \int_SF\cdotn\ ds=-\int_S(x,y,z)\cdot 1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}(x,y,z)dS=-\int_S sqrt{x^2+y^2+z^2}dS =-4\int_S dS $

Poi come si fanno a trovare le limitazioni degli angoli delle coordinate sferiche per integrare sulla porzione di sfera delimitata dal cono?
Vi sembra giusto il procedimento? Vi viene in mente una risoluzione più veloce?

Grazie mille

[gugo82]

Giustamente, il cono è ellittico e da fastidio...

Non è che si può usare qualche teorema per trasformare l'integrale di superficie in uno di volume o di bordo?
Robe tipo teorema della divergenza o del rotore...

[mauri54]

Divergenza non la si può applicare perché è S non è frontiera di un dominio chiuso. A meno che non lo so chiusa ma poi la difficoltà di parametrizzare è la stessa.