Flusso attraverso un paraboloide

[jollysa87]

Ciao a tutti,

Sto cercando di risolvere un ex in cui mi si chiede di calcolare il flusso del campo vettoriale $F=$ attraverso la superficie del paraboloide dato dalla funzione $z=x^2+y^2-2y+3$ compreso fra $2<=z<=4$

Vorrei sapere se ho parametrizzato bene tale superficie:

a seconda di ogni altezza $z$ il paraboloide assume la forma di un cerchio SEMPRE centrato in $C(0,1)$ e raggio che varia con $z$.
Siccome per calcolare il raggio al variare di z ottengo

$a^2+b^2-R^2 = 3 - z$

con $a=0$ e $b=1$ ottengo $R = sqrt(z-2)$

Perciò ecco la mia parametrizzazione:

$x=sqrt(z-2)*cos(ϑ)$
$y=sqrt(z-2)*sin(ϑ)+1$
$z=z$

Ottengo perciò la seguente funzione di parametrizzazione: $ϕ(ϑ,z) = (sqrt(z-2)*cos(ϑ), sqrt(z-2)*sin(ϑ)+1, z)$

Secondo voi è giusto?

Grazie in anticipo,

Alex

[clrscr]

Non potresti applicare il teorema della divergenza?

[jollysa87]

Il teorema della divergenza può essere usato solo se la superficie risulta chiusa... ma in questo caso il paraboloide è aperto. Come faccio?

[alle.fabbri]

Devi calcolare esplicitamente l'integrale... Trovi la normale (che ti ricordo ha norma uno) e la puoi ottenere dal prodotto vettoriale tra i vettori tangenti nelle due direzioni della parametrizzazione, e poi integri in $dS$ su tutta la superficie laterale del paraboloide. Se proprio volessi usare il teorema della divergenza dovresti poi sottrarre al risultato il contributo dei due cerchi di base, che è senz'altro più facile da calcolare siccome la normale è sempre lungo $z$, stando però attento all'orientazione.