Flusso attraverso un cilindro.

[Genny_it]

Ho avuto non pochi dubbi su questo esercizio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)$
uscente dal bordo del solido
$S={(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2 <= 2x; 0<=z<=1}$

Allora:
Il solido in questione è ovviamente un cilindro di raggio $1$ e centro $(1,0)$.
Visto che è un solido, ho pensato subito di applicare il teorema della divergenza e quindi:
$Phi= int int int_S (grad * v) dxdydz$ dove $grad *v = 2x+2y+2z$;
detto questo per risolvere l'integrale passo a coordinate cilindriche quindi:
$x= 1+rcost$; $y = rsent$; $z=z$ $J =r$ con $r in [0,1]4$; $t in [0,2pi]$
Bene fatto ciò inizio a risolvere l'integrale:
$int int int_S (2x+2y+2z) dxdydz$ in coordinate cilindriche diventa
$int int int_S [2(1+rcist)+2rsent + 2z)]r drdtdz$ con $r in [0,1]$ ; $z in [0,1]$ ; $t in [0,2pi]$;
Svolgo i calcoli e mi trovo che è uguale a $3pi$
Quindi il flusso attraverso tutto il solido compreso quindi le basi è uguale a $3pi$! Salvo errori


Ho provato successivamente a calcolare il flusso attraverso solo la superficie laterale del cilindro, in questo modo:
flusso totale, meno il flusso attraverso le basi.
Bene ho inizialmente pensato di riutilizzare il teorema della divergenza per i mie due nuovi casi ovvero:
$D_1= ((x,y) in R^2 : x^2 +y^2 = 2x; z=0}$ ; $D_2 = ((x,y) in R^2 : x^2 +y^2 = 2x; z=1}$
nel primo caso ho parametrizzato il dominio in questo modo:
$S= { ( x=u ),( y=v ),( z=0 ):}$ quindi:
$int int_(D_1) (2x+2y+2z) dxdydz$ che usando la parametrizzazione diventa:
$int int_(D_1) (2u+2v) dxdy$
poi sono passato in coordinate polari ed ho calcolato il seguente integrale
$u=rcost+1$; $v= rsent$ con $r in [0,1]$; $t in [0,2pi]$
$int_(0)^(1)rdrint_0^(2pi) (2+2rcost+2rsent) dt$ svolgendo i vari calcoli me lo trovo uguale a $2pi$


Dopo aver fatto questo ho pensato che c'era qualcosa che non andava ho controllato meglio ed ho visto che il teorema della divergenza si applica su superfici in $R^3$ quindi se ho scritto bene il dominio $D_1$ non posso applicare il seguente teorema, anche se comunque mi ha dato un risultato :/
Ho quindi usato il calcolo diretto cioè:
$Phi=int_(D_1)(v xx tilde(n)) dsigma$; ho parametrizzato come segue:
$S={ ( x=u ),( y=v ),( z=0 ):}$, ho quindi calcolato le normali e quindi $n=(0,0,1)$
Ho posto $dsigma=dudv$
ho poi fatto il prodotto ed ho visto che si annullava:
$<(u^2,v^2,0)(0,0,1)> =0$ quindi il flusso è $0$

Discorso analogo per $(D_2)$, con la differenza che fatti i calcoli il flusso si trova $pi$ (usando sempre il metodo diretto).
Quindi ho dedotto che il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro è $3pi-0-pi =2pi$
Al monte del discorso quello che volevo chiedere é:
è giusto ragionare in questo modo per calcolare il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro? e per quanto riguarda il flusso attraverso $D_1= ((x,y) in R^2 : x^2 +y^2 = 2x; z=0}$ ; $D_2 = ((x,y) in R^2 : x^2 +y^2 = 2x; z=1}$ ho fatto bene a tralasciare il metodo della divergenza ed usare quello diretto, (perchè mi danno risultati diversi e nel primo caso ($D_1$) usando il calcolo diretto mi viene che il flusso è 0, è normale? )? Per concludere esiste un metodo di calcolo diretto della superficie laterale del cilindro?

Spero di essere stato comprensibile

[apatriarca]

Sinceramente non ho capito come avresti applicato il teorema della divergenza alla superficie laterale del cilindro. La risposta è comunque: NO, non puoi applicare il teorema della divergenza in quel modo per calcolare il flusso attraverso la superficie laterale. Avresti piuttosto potuto usarlo riprendendo il risultato ottenuto per tutta la superficie e sottraendo il flusso attraverso le due basi usando il calcolo diretto.

[Genny_it]

Va benissimo grazie, in pratica era quello che volevo sapere

"apatriarca":Sinceramente non ho capito come avresti applicato il teorema della divergenza alla superficie laterale del cilindro

no avevo, come hai confermato anche tu, calcolato inizialmente il flusso attraverso tutto il solido (salvo errori sia di calcoli che di scrittura). Poi avevo pensato di calcolare separatamente il flusso delle due basi del cilindro inizialmente avevo provato con il teorema della divergenza, ma siccome non ero certo di poterlo applicare, ho usato il calcolo diretto per entrambe le basi!

P.s Il solido in questione è ovviamente un cilindro di raggio $ 1 $ e centro $ (1,0) $.
siamo in $R^3$ sia $Omega$ il nostro cilindro, $partial Omega$ la superficie parametrizzata e $V=v_1(i)+v_2(j)+v_3(k)$, abbiamo che:
$int_(partial Omega) dsigma =int int int_Omega Div(v) dxdydz$
Dove $Div(v) = (partialv_1)/(partialx)+(partialv_2)/(partialy)+(partialv_3)/(partialz)$.
quindi la divergenza è $2x+2y+2z$
passando a coordinate cilindriche abbiamo che:
$ x= 1+rcost $; $ y = rsent $; $ z=z $ $ J =r $ con $ r in [0,1] $; $ t in [0,2pi] $
Fatto ciò ho risolto l'integrale:
$ int int int_(Omega) (2+2rcost+2rsent + 2z)r drdtdz $ con $ r in [0,1] $ ; $ z in [0,1] $ ; $ t in [0,2pi] $;
Fatti i calcoli mi trovo che il flusso totale attraverso tutto il cilindro compreso quindi le basi è $3pi$. Si procede così giusto? Da quello che ho capito si, ma vorrei una conferma e un'altra cosa posso risolvere l'integrale triplo anche in coordinate polari? considerando il cerchio base sempre con $ r in [0,1] $ ; $ t in [0,2pi] $ e poi faccio oscillare la z con $ z in [0,1] $; sembra molto simile, se non la stessa cosa, di quando applico le coordinate cilindriche

[apatriarca]

La prima parte mi sembra corretta. Non ho calcolato l'integrale ma la logica è quella giusta. Non capisco invece che cosa significa calcolare l'integrale triplo in coordinate polari. Le coordinate polari sono nel piano, non nello spazio.. È inoltre abbastanza ovvio che usare le coordinate polari su una sezione e poi integrare sulla terza coordinata sia uguale ad usare le coordinate cilindriche. È in effetti il metodo con cui si risolve tale integrale triplo.

[Genny_it]

Grazie mille dell'aiuto, credo di aver capito