Flusso attraverso superficie laterale e totale

[liam-lover]

Ho svolto questo esercizio, ma non ho le soluzioni.
Volevo chiedervi se la mia impostazione è corretta prima di gettarmi in mille calcoli sbagliati (e fare l'ennesima figura).


"a) Calcolare il flusso del campo vettoriale:

$ F(x,y,z)=(x,y,z^4) $

attraverso la superficie laterale del cilindro di equazione $ x^2+y^2=4 $ delimitato dai piani $ z=1 $, $ z=0 $.

b) Calcolare poi il flusso di F uscente dalla stessa superficie."



Ora, se non sbaglio, per entrambi i punti si può usare il teorema della divergenza.

$ int int int_(V)^() Div(F) dx dy dz =int_(deltaS )^() Fvec(n) dsigma $

Per il punto b), mi basta calcolare questo integrale.

Per il punto a), invece, devo notare che il bordo è formato da tre superfici: quella laterale (S) e le due "basi" circolari, che chiamo S1 ed S2.

$ int int int_(V)^() Div(F) dx dy dz =int_(S )^() Fvec(n) dsigma +int_(S1 )^() Fvec(n) dsigma+int_(S2 )^() Fvec(n) dsigma $

Dunque mi interessa:

$ int_(S )^() Fvec(n) dsigma =int int int_(V)^() Div(F) dx dy dz - int_(S1 )^() Fvec(n) dsigma-int_(S2 )^() Fvec(n) dsigma $

E' giusto?

[dadeslam]

Corretto, poi grazie al teorema della divergenza i conti non sono neanche troppi

[liam-lover]

Provo prima a calcolare l'integrale triplo:

$ DivF=2x+2y $

$ int int int_(V)^() 2x dx dy dz + int int int_(V)^() 2y dx dy dz = $

I valori di x variano in $[0,2]$, mentre quelli di y tra $ y=+- sqrt(4-x^2) $.
z varia in $[0, 1]$ come da traccia.

$ 2 int int int_(V)^() [x^2/2] dy dz + 2 int int int_(V)^() [y^2/2] dx dz =$

$ 4 int int int_(V)^() dy dz = 16 pi $

E' corretto?

[dadeslam]

Il tuo campo vettoriale $F$ è definito come una funzione da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^3$, per cui nella divergenza devi tener conto anche della variabile $z$, ottenendo quindi:
$Div F = 1 + 1 + 4z^3$ e i conti che seguono vanno quindi sistemati

[liam-lover]

Scusa, non so perché ma ho calcolato la divergenza di $ x^2+y^2=4 $.

Correggo:

$ DivF= 1+1+4z^3 $

$ int int int_(V)^() 1+1+4z^3 dx dy dz =2 int int_(S)^() dx dy =8pi $

Va meglio?

[dadeslam]

Allora sulla sinistra è corretto, dove puoi tranquillamente parametrizzare il volume come segue:
$ V = \{ (\rho,\theta,z):0\leq \rho \leq 2,0\leq\theta<2\pi,0\leq z\leq 1\}$ in coordinate cilindriche
e quindi ottenere $\int_{0}^{1} \int_0^2 \int_0^{2\pi} (2+4z^3)\rho d\theta d\rho dz$ e se ti interessa il flusso sulla superficie laterale semplicemente sottrai il flusso sui due "tappi" a $z=0$ e $z=1$ la cui normale uscente è più facile da trovare perchè puoi porre rispettivamente $n_1 = (0,0,-1)$ e $n_2=(0,0,1)$ e sottrarre, come hai già detto in precedenza, all'integrale sul volume l'integrale sulle due superifici del prodotto scalare, che è $F\cdot n_i = +- z^4$

[liam-lover]

Okay, quindi per la seconda parte:

$ 8pi-int_(S1)^() (2cost,2sent,0)(0,0,-1)dt-int_(S2)^() (2cost,2sent,1)(0,0,1)dt= $

$ 8pi-int_(0)^(2pi) dt=8pi-2pi=6pi $

[dadeslam]

Occhio ai conti, perchè l'integrale sul volume dovrebbe risultare $12\pi$ mentre l'integrale su $S_2$, che è l'area di $S_2$, è $4\pi$ e quindi a me risulta che il flusso sulla superficie laterale sia $12\pi-4\pi=8\pi$. Comunque questi son solo conti, l'importante è che il procedimento torni.