Flusso attraverso superficie composta
Ragazzi perdonatemi se ho scritto delle baggianate, ma sono veramente alle prime armi con questa tipologia di esercizi e non sono assolutamente sicuro di quello che scriverò, comunque qualcosina di buono credo di saperla.
Mi viene chiesto di calcolare il flusso uscente di:
$F=(x-yz, yz+1, z^3+xy)$
attraverso $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ dove:
$\Sigma_1\equiv{(x,y,z)\inRR^3 : x^2+y^2=1, 0<=z<=1} $
$\Sigma_2\equiv{(x,y,z)\inRR^3 : x^2+y^2=(z+1)^2, -1<=z<=0}$
Premettendo che con la matematica generale non ci vado tanto d'accordo, ho tentato di risolvere tale problema nel seguente modo.
Per prima cosa direi che conviene applicare il teorema della divergenza, in quanto mi pare che le 2 superfici siano rispettivamente un cilindro [raggio 1, altezza 1, posato sul piano xy=0] e un cono [punta nel semispazio delle z negative, raggio massimo 1 alla quota z=0].
Credo che si possa applicare il teorema in quanto $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ è unione finita di superfici generalmente regolari, a patto di "tappare" il cilindro nel suo bordo superiore, in quanto $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ non è chiusa [il bordo inferiore dovrebbe essere "tappato" dal cilindro"].
Quindi applicherei il teorema della divergenza a $\Sigma_1$ per poi sottrarre il flusso per la circonferenza "tappo", e lo riapplicherei anche a $\Sigma_2$, per poi sommare i 2 risultati e ottenere il flusso totale.
Cioè, assumendo $\Sigma_3\equiv{(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2=1, z=1}$, riassumerei il discorso precendente come segue:
$\Phi(\Sigma_1\uu\Sigma_2)=\int int int_D \nabla\cdotFdV - \int\int_EF\vec ndA+int int int_F \nabla\cdotFdV$
Dove $D\equiv\Sigma_1$, $E\equiv\Sigma_3$ e $F\equiv\Sigma_2$
Ora armato di tanta pazienza, e supponendo che le considerazioni fatte siano corrette, posso procedere con i calcoli, quindi:
Per prima cosa mi calcolo la divergenza di F: $\nabla\cdotF=(\partial(x-yz))/(\partialx)+(\partial( yz+1))/(\partialy)+(\partial( z^3+xy))/(\partialz)=1+z+3z^2$
Adesso mi calcolo $\int\int_EF\vec ndA$:
Sperando sia corretto, parametrizzo $E\equiv\Sigma3$, in maniera tale che la normale punti verso z crescenti (dedotto dall'immagine del cilindro).
Ciò dovrebbe equivalere al fatto che il bordo della circonferenza debba essere descritto in senso antiorario, quindi:
$\Sigma_3=\phi(u,v)\equiv{(x=ucosv),(y=usinv),(z=1):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
Adesso individuo $\vec n=\phi_u\times\phi_v$, dove $\phi_u$ e $\phi_v$ sono i vettori tagenti alla superficie.
$phi_u=[[cosv],[sinv],[0]]$ e $phi_u=[[-usinv],[ucosv],[0]]$
$\phi_u\times\phi_v=|(\vec i,\vec j,\vec k),(cosv,sinv,0),(-usinv,ucosv,0)|=(0)\vec i+(0)\vec j+(ucos^2v+usin^2v)\veck=u\veck$
Ora che ho tutti gli ingredienti posso impostare e risolvere l'integrale:
$\int\int_EF\vec ndA=\int_0^(2pi)\int_0^1 (ucosv-usinv,usinv+1,1+u^2sinvcosv)\cdot(0,0,u) dudv=\int_0^(2pi)\int_0^1 0+0+(1+u^2sinvcosv)u dudv$=
$\int_0^(2pi)\int_0^1 u+u^3sinvcosv dudv$...
(i seguenti passaggi non sono assolutamente sicuro che siano corretti)
...$\int_0^(2pi)[\int_0^1 udu+ \int_0^1u^3sinvcosv du]dv=\int_0^(2pi)[(1)^2/2+ sinvcosv \int_0^1u^3du]dv=\int_0^(2pi)[(1)^2/2+ sinvcosv(1)^4/4]dv=1/2\int_0^(2pi)dv+1/4\int_0^(2pi)sinvcosvdv=pi+1/4\int_0^(2pi)cosvd(-cosv)=$
$pi-1/4\int_0^(2pi)cosvd(cosv)=pi-1/4(cos^2(2pi))/2=pi-1/8$
Dubito fortemente di aver svolto correttamente i calcoli, comunque vado avanti.
Ora mi calcolo $\int int int_D \nabla\cdotFdV$, cioè:
$\int int int_D \nabla\cdotFdV=\int_0^1 int_0^(2pi) int_0^1(1+z+3z^2)\rhod\theta\dz=\int_0^1 (1+z+3z^2)int_0^(2pi) int_0^1\rhod\theta\dz=1/2int_0^1 (1+z+3z^2)int_0^(2pi) d\thetadz=$
$piint_0^1 (1+z+3z^2)dz=pi(1+1/2+1)=5/2pi$
E infine mi calcolo $int int int_F \nabla\cdotFdV$:
$int int int_F \nabla\cdotFdV=int_(-1)^(0) int_0^(2pi) int_0^((z+1))^2(1+z+3z^2)\rhod\rhod\thetadz=int_(-1)^(0) (1+z+3z^2)int_0^(2pi) int_0^(z+1)\rhod\rhod\thetadz=int_(-1)^(0) (1+z+3z^2)int_0^(2pi)(z+1)^2/2d\thetadz=$
$piint_(-1)^(0)(1+z+3z^2)(z+1)^2dz=piint_(-1)^(0)7z^3+6z^2+3z+1dz=pi(6(1)^2/3+7(1)^4/4+3(1)^2/2+1)=25/12pi$
Quindi concluderei che $\Phi(\Sigma_1\uu\Sigma_2)=5/2pi-pi+1/8+25/4pi=31/4pi+1/8$
Siccome i valori ottenuti non mi convincono molto (soprattutto quel $25/4pi$), mi farebbe molto piacere se qualcuno mi facesse notare dov'è che ho sbagliato,sia concettualmente che operativamente, perchè ora come ora non mi viene niente in mente...
Grazie mille a tutti per la pazienza e per la disponibilità!
Mi viene chiesto di calcolare il flusso uscente di:
$F=(x-yz, yz+1, z^3+xy)$
attraverso $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ dove:
$\Sigma_1\equiv{(x,y,z)\inRR^3 : x^2+y^2=1, 0<=z<=1} $
$\Sigma_2\equiv{(x,y,z)\inRR^3 : x^2+y^2=(z+1)^2, -1<=z<=0}$
Premettendo che con la matematica generale non ci vado tanto d'accordo, ho tentato di risolvere tale problema nel seguente modo.
Per prima cosa direi che conviene applicare il teorema della divergenza, in quanto mi pare che le 2 superfici siano rispettivamente un cilindro [raggio 1, altezza 1, posato sul piano xy=0] e un cono [punta nel semispazio delle z negative, raggio massimo 1 alla quota z=0].
Credo che si possa applicare il teorema in quanto $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ è unione finita di superfici generalmente regolari, a patto di "tappare" il cilindro nel suo bordo superiore, in quanto $\Sigma_1\uu\Sigma_2$ non è chiusa [il bordo inferiore dovrebbe essere "tappato" dal cilindro"].
Quindi applicherei il teorema della divergenza a $\Sigma_1$ per poi sottrarre il flusso per la circonferenza "tappo", e lo riapplicherei anche a $\Sigma_2$, per poi sommare i 2 risultati e ottenere il flusso totale.
Cioè, assumendo $\Sigma_3\equiv{(x,y,z)inRR^3: x^2+y^2=1, z=1}$, riassumerei il discorso precendente come segue:
$\Phi(\Sigma_1\uu\Sigma_2)=\int int int_D \nabla\cdotFdV - \int\int_EF\vec ndA+int int int_F \nabla\cdotFdV$
Dove $D\equiv\Sigma_1$, $E\equiv\Sigma_3$ e $F\equiv\Sigma_2$
Ora armato di tanta pazienza, e supponendo che le considerazioni fatte siano corrette, posso procedere con i calcoli, quindi:
Per prima cosa mi calcolo la divergenza di F: $\nabla\cdotF=(\partial(x-yz))/(\partialx)+(\partial( yz+1))/(\partialy)+(\partial( z^3+xy))/(\partialz)=1+z+3z^2$
Adesso mi calcolo $\int\int_EF\vec ndA$:
Sperando sia corretto, parametrizzo $E\equiv\Sigma3$, in maniera tale che la normale punti verso z crescenti (dedotto dall'immagine del cilindro).
Ciò dovrebbe equivalere al fatto che il bordo della circonferenza debba essere descritto in senso antiorario, quindi:
$\Sigma_3=\phi(u,v)\equiv{(x=ucosv),(y=usinv),(z=1):}$ con $u\in[0,1]$ e $v\in[0,2pi]$
Adesso individuo $\vec n=\phi_u\times\phi_v$, dove $\phi_u$ e $\phi_v$ sono i vettori tagenti alla superficie.
$phi_u=[[cosv],[sinv],[0]]$ e $phi_u=[[-usinv],[ucosv],[0]]$
$\phi_u\times\phi_v=|(\vec i,\vec j,\vec k),(cosv,sinv,0),(-usinv,ucosv,0)|=(0)\vec i+(0)\vec j+(ucos^2v+usin^2v)\veck=u\veck$
Ora che ho tutti gli ingredienti posso impostare e risolvere l'integrale:
$\int\int_EF\vec ndA=\int_0^(2pi)\int_0^1 (ucosv-usinv,usinv+1,1+u^2sinvcosv)\cdot(0,0,u) dudv=\int_0^(2pi)\int_0^1 0+0+(1+u^2sinvcosv)u dudv$=
$\int_0^(2pi)\int_0^1 u+u^3sinvcosv dudv$...
(i seguenti passaggi non sono assolutamente sicuro che siano corretti)
...$\int_0^(2pi)[\int_0^1 udu+ \int_0^1u^3sinvcosv du]dv=\int_0^(2pi)[(1)^2/2+ sinvcosv \int_0^1u^3du]dv=\int_0^(2pi)[(1)^2/2+ sinvcosv(1)^4/4]dv=1/2\int_0^(2pi)dv+1/4\int_0^(2pi)sinvcosvdv=pi+1/4\int_0^(2pi)cosvd(-cosv)=$
$pi-1/4\int_0^(2pi)cosvd(cosv)=pi-1/4(cos^2(2pi))/2=pi-1/8$
Dubito fortemente di aver svolto correttamente i calcoli, comunque vado avanti.
Ora mi calcolo $\int int int_D \nabla\cdotFdV$, cioè:
$\int int int_D \nabla\cdotFdV=\int_0^1 int_0^(2pi) int_0^1(1+z+3z^2)\rhod\theta\dz=\int_0^1 (1+z+3z^2)int_0^(2pi) int_0^1\rhod\theta\dz=1/2int_0^1 (1+z+3z^2)int_0^(2pi) d\thetadz=$
$piint_0^1 (1+z+3z^2)dz=pi(1+1/2+1)=5/2pi$
E infine mi calcolo $int int int_F \nabla\cdotFdV$:
$int int int_F \nabla\cdotFdV=int_(-1)^(0) int_0^(2pi) int_0^((z+1))^2(1+z+3z^2)\rhod\rhod\thetadz=int_(-1)^(0) (1+z+3z^2)int_0^(2pi) int_0^(z+1)\rhod\rhod\thetadz=int_(-1)^(0) (1+z+3z^2)int_0^(2pi)(z+1)^2/2d\thetadz=$
$piint_(-1)^(0)(1+z+3z^2)(z+1)^2dz=piint_(-1)^(0)7z^3+6z^2+3z+1dz=pi(6(1)^2/3+7(1)^4/4+3(1)^2/2+1)=25/12pi$
Quindi concluderei che $\Phi(\Sigma_1\uu\Sigma_2)=5/2pi-pi+1/8+25/4pi=31/4pi+1/8$
Siccome i valori ottenuti non mi convincono molto (soprattutto quel $25/4pi$), mi farebbe molto piacere se qualcuno mi facesse notare dov'è che ho sbagliato,sia concettualmente che operativamente, perchè ora come ora non mi viene niente in mente...
Grazie mille a tutti per la pazienza e per la disponibilità!
Risposte
Il ragionamento che fai è giusto, ma non ho guardato attentamente i calcoli. Per l'integrale di flusso su $E$ puoi osservare che $\vec{n}=\vec{k}$ (il versore dell'asse z) ed essendo su $E$ $z=1$ si ha $F=(x-y,y+1,1+xy)$ e quindi
[tex]$\int_E F\cdot \vec{n}\ dS=\int_E (1+xy)\ dx\ dy$[/tex]
pe cui passando a corrdinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$
[tex]$\int_0^1\int_0^{2\pi}(1+\rho^2\cos\theta\sin\theta)\ \rho\ d\theta\ d\rho=\int_0^1\rho\int_0^{2\pi}\left(1+\frac{\rho^2}{2}\sin(2\theta)\right)\ d\theta\ d\rho=\int_0^1\rho\left[\theta-\frac{\rho^2}{4}\cos(2\theta)\right]_0^{2\pi}\ d\rho=\int_0^12\pi\rho\ d\rho=\pi\rho^2\Big|_0^{1}=\pi$[/tex]
Per gli altri mi sembra che hai proceduto bene.
[tex]$\int_E F\cdot \vec{n}\ dS=\int_E (1+xy)\ dx\ dy$[/tex]
pe cui passando a corrdinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$
[tex]$\int_0^1\int_0^{2\pi}(1+\rho^2\cos\theta\sin\theta)\ \rho\ d\theta\ d\rho=\int_0^1\rho\int_0^{2\pi}\left(1+\frac{\rho^2}{2}\sin(2\theta)\right)\ d\theta\ d\rho=\int_0^1\rho\left[\theta-\frac{\rho^2}{4}\cos(2\theta)\right]_0^{2\pi}\ d\rho=\int_0^12\pi\rho\ d\rho=\pi\rho^2\Big|_0^{1}=\pi$[/tex]
Per gli altri mi sembra che hai proceduto bene.
Ciampax mi stai salvando vita!!
Il fatto che a livello concettuale mi sono comportato bene è già una vittoria per me!
Comunque ho provato a sentire alcuni miei compagni di corso che mi hanno informato che il risultato (secondo loro) dovrebbe essere $pi$.
Ora l'integrale sulla circonferenza è sbagliato, ma vorrei sapere altre 2 cose:
1) La parametrizzazione è corretta?
2) I domini di integrazione dei 2 integrali con la divergenza sono stati impostati correttamente?
Grazie a tutti!!
Il fatto che a livello concettuale mi sono comportato bene è già una vittoria per me!
Comunque ho provato a sentire alcuni miei compagni di corso che mi hanno informato che il risultato (secondo loro) dovrebbe essere $pi$.
Ora l'integrale sulla circonferenza è sbagliato, ma vorrei sapere altre 2 cose:
1) La parametrizzazione è corretta?
2) I domini di integrazione dei 2 integrali con la divergenza sono stati impostati correttamente?
Grazie a tutti!!
1) L'integrale su $E$ è errato solo nei calcoli: osserva che quello che calcolo io è esattamente il tuo integrale dove $u\to\rho,\ v\to\theta$. La parametrizzazione che hai usato è corretta.
2)Per i domini $D$ ed $F$ passa a coordinate cilindriche [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z$[/tex] con
[tex]$0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le 1$[/tex] per il dominio $D$
[tex]$0\le\rho\le z+1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ -\le z\le 0$[/tex] per il dominio $F$.
Mi pare che tu abbia sbagliato gli estremi per il dominio $F$.
2)Per i domini $D$ ed $F$ passa a coordinate cilindriche [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z$[/tex] con
[tex]$0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le 1$[/tex] per il dominio $D$
[tex]$0\le\rho\le z+1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ -\le z\le 0$[/tex] per il dominio $F$.
Mi pare che tu abbia sbagliato gli estremi per il dominio $F$.
Bella roba, devo prendere e riguardarmi da capo il calcolo integrale multiplo!
Avrei un ultimissimo quesito: mi viene chiesto in un altro esercizio di calcolare il flusso "entrante" la superficie di questo esercizio.
Supponendo che quello "uscente" vale $pi$, senza stare a fare i calcoli, posso subito affermare che risulta $-pi$?
Avrei un ultimissimo quesito: mi viene chiesto in un altro esercizio di calcolare il flusso "entrante" la superficie di questo esercizio.
Supponendo che quello "uscente" vale $pi$, senza stare a fare i calcoli, posso subito affermare che risulta $-pi$?
Certo che sì.
Viva l'italiano comunque , l'ultima frase che ho scritto è uno spettacolo!
Grazie mille ciampax per la pazienza e la disponibilità!
Grazie mille ciampax per la pazienza e la disponibilità!
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