Flusso attraverso sfera e cilindro

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, sono ancora alle prese con flussi e volumi: devo calcolare il volume e il flusso di $F$ attraverso $E$, dove $F(x,y,z)=(x,y,z)$ e $E={(x,y,z)inRR^3: 1<=x^2+y^2<=9-z^2}$.

Il solido in questione è la parte compresa tra il cilindro di raggio uno e la sfera di raggio tre, quindi la superficie è chiusa. Siccome $nabla*F(x,y,z)=3$, per calcolare il flusso mi basta conoscere il volume.

Usando le coordinate cilindriche, si ha $theta in [0,2pi]$, $rin[1,3]$, e $zin[-sqrt(9-r^2), sqrt(9-r^2)]$. Quindi:

$Vol(E)=int_0^(2pi)d theta int_1^3r int_(-sqrt(9-r^2))^(sqrt(9+r^2)) dz dr=64/3sqrt2pi$

e il flusso quindi sarebbe $64sqrt2pi$.

Il risultato è un po' particolare, i conti tornano? Grazie in anticipo.

[anonymous_0b37e9]

Ok. Ricordati che puoi sempre fare una verifica integrando nell'altro modo:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=t):} rarr \{(\rho^2 gt= 1),(\rho^2 lt= 9-t^2):} rarr \{(1 lt= 9-t^2),(1 lt= \rho^2 lt= 9-t^2):} rarr \{(-2sqrt2 lt= t lt= 2sqrt2),(1 lt= \rho lt= sqrt(9-t^2)):} rarr$

$rarr I=3\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{-2sqrt2}^{2sqrt2}dt\int_{1}^{sqrt(9-t^2)}d\rho\rho=3\pi\int_{-2sqrt2}^{2sqrt2}dt(8-t^2)=64sqrt2\pi$

[Gustav Wittgenstein]

Già un integrale mi pesa, figuriamoci due vabbè, a parte gli scherzi, grazie mille.