Flusso
Ciao Ragazzi
Potete darmi una mano sul procedimento da seguire per calcolare il seguente flusso?
si calcoli il flusso del campo F$=(xy,yz,zx) $ uscente dalla superficie del paraboloide $z=4-x^2-y^2$ che si proietta sul quadrato $ Q=0\leqx\leq1 , 0\leqy\leq1$
C = ${(x,y,z):x^2+y^2\leq1 , 0\leqz\leq2} $
allora io procederei cosi:
parametrizzo
$ \varphi = {x=u , y=v , z=-u^2-v^2+4}$
Calcolo i minori
$ (dy/(du)*dz/(dv))*[-(dy/(dv)*dz/(du))]=2u$
$-{(dx/(du)*dz/(dv))*[-(dx/(dv)*dz/(du))]}=2v$
$(dx/(du)*dy/(dv))*[-(dx/(dv)*dy/(du)]=1$
quindi il versore normale alla superficie è:
$\nu=[(2u)/(\sqrt(4u^2+4v^2+1)) , (2v)/(\sqrt(4u^2+4v^2+1)) , 1/(\sqrt(4u^2+4v^2+1))]$
a questo punto procedo con il calcolo dell integrale
$\int F*\nu d\theta$
questo integrale diventa poi un integrale doppio , solo che non riesco a trovare gli estremi.
Se il procedimento è corretto potreste darmi un aiuto?
Grazie in anticipo!
Potete darmi una mano sul procedimento da seguire per calcolare il seguente flusso?
si calcoli il flusso del campo F$=(xy,yz,zx) $ uscente dalla superficie del paraboloide $z=4-x^2-y^2$ che si proietta sul quadrato $ Q=0\leqx\leq1 , 0\leqy\leq1$
C = ${(x,y,z):x^2+y^2\leq1 , 0\leqz\leq2} $
allora io procederei cosi:
parametrizzo
$ \varphi = {x=u , y=v , z=-u^2-v^2+4}$
Calcolo i minori
$ (dy/(du)*dz/(dv))*[-(dy/(dv)*dz/(du))]=2u$
$-{(dx/(du)*dz/(dv))*[-(dx/(dv)*dz/(du))]}=2v$
$(dx/(du)*dy/(dv))*[-(dx/(dv)*dy/(du)]=1$
quindi il versore normale alla superficie è:
$\nu=[(2u)/(\sqrt(4u^2+4v^2+1)) , (2v)/(\sqrt(4u^2+4v^2+1)) , 1/(\sqrt(4u^2+4v^2+1))]$
a questo punto procedo con il calcolo dell integrale
$\int F*\nu d\theta$
questo integrale diventa poi un integrale doppio , solo che non riesco a trovare gli estremi.
Se il procedimento è corretto potreste darmi un aiuto?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, in linea di principio il ragionamento da seguire è quello anche se non è necessario calcolare il versore basta il vettore normale (segue anche dalla definizione di integrale di flusso di un campo vettoriale:
$\int_\Sigma \vec F \cdot d\vec s = \int_\Sigma \vec F \cdot \hat n ds = \int_T \vec F(u,v) \cdot (\partial_u \sigma(u,v) \times \partial_v \sigma(u,v))dudv$ dove $\sigma = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ è la parametrizzazione di $\Sigma$ e con $(u,v) \in T \subset \mathbb{R}$, in genere la terza uguaglianza dipende dalla scelta se si vuole un flusso entrante o uscente, compatibilmente con il segno del vettore normale alla superficie, ci sarà un segno di differenza.)
Per gli estremi di integrazione ci ho pensato tutto il pomeriggio e sono giunto alla conclusione che considerare contemporaneamente tutte le condizioni che hai scritto non ha molto senso, in particolare le condizioni date da C con il paraboloide; o sono due esercizi diversi (con la stessa funzione) e allora però dovrebbe essere il bordo di C (cilindro con asse l'asse z), a meno che la z di C non vari tra 0 e 4, allora è più interessante.
1) Se consideri solo il paraboloide con le condizioni di Q si ha $D = {(x,y,z} t.c \ z=4-x^2-y^2, 0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1}$ , gli estremi sono già dati, basta seguire la definizione e fare un po' di conti, come hai iniziato a fare.
2) Se invece consideri il bordo di C allora devi fare 3 integrali considerando la superficie laterale e i due cerchi di raggio 1 a quota $z=0$ e $z=2$, facendo attenzione ai segni delle normali. Oppure date che è una superficie chiusa puoi sfruttare il teorema della divergenza.
3) Se consideri il bordo di C ma con le condizioni date da Q allora devi considerare 5 integrali: le due basi, la superficie laterale dello spicchio di cilindro, e i due piani laterali. Oppure come prima il teorema della divergenza.
Nella quarta ipotesi (quindi il bordo di $V={(x,y,z): z <= 4-x^2-y^2, x^2+y^2\leq1$ con $x\in[0,1], y\in[0,1], z\in[0,4]}$ si tratta di trovare la quota in cui il cilindro interseca il paraboloide, a occhio direi $z=3$, e calcolare il flusso uscente come somma della superficie laterale con $z \in [0, 3]$, la base a $z=0$, i due piani laterali e aggiungerci i 3 integrali di flusso dati dallo spicchio del paraboloide per $3\leq z \leq 4$ e i due dati dai piani che vanno a chiudere, non si capisce niente immagino xD Si tratta di farsi un disegno, allora sarà tutto più chiaro. Anche qui vale il teorema della divergenza.
Spero di averti dato buoni suggerimenti e di essere stato d'aiuto
$\int_\Sigma \vec F \cdot d\vec s = \int_\Sigma \vec F \cdot \hat n ds = \int_T \vec F(u,v) \cdot (\partial_u \sigma(u,v) \times \partial_v \sigma(u,v))dudv$ dove $\sigma = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ è la parametrizzazione di $\Sigma$ e con $(u,v) \in T \subset \mathbb{R}$, in genere la terza uguaglianza dipende dalla scelta se si vuole un flusso entrante o uscente, compatibilmente con il segno del vettore normale alla superficie, ci sarà un segno di differenza.)
Per gli estremi di integrazione ci ho pensato tutto il pomeriggio e sono giunto alla conclusione che considerare contemporaneamente tutte le condizioni che hai scritto non ha molto senso, in particolare le condizioni date da C con il paraboloide; o sono due esercizi diversi (con la stessa funzione) e allora però dovrebbe essere il bordo di C (cilindro con asse l'asse z), a meno che la z di C non vari tra 0 e 4, allora è più interessante.
1) Se consideri solo il paraboloide con le condizioni di Q si ha $D = {(x,y,z} t.c \ z=4-x^2-y^2, 0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1}$ , gli estremi sono già dati, basta seguire la definizione e fare un po' di conti, come hai iniziato a fare.
2) Se invece consideri il bordo di C allora devi fare 3 integrali considerando la superficie laterale e i due cerchi di raggio 1 a quota $z=0$ e $z=2$, facendo attenzione ai segni delle normali. Oppure date che è una superficie chiusa puoi sfruttare il teorema della divergenza.
3) Se consideri il bordo di C ma con le condizioni date da Q allora devi considerare 5 integrali: le due basi, la superficie laterale dello spicchio di cilindro, e i due piani laterali. Oppure come prima il teorema della divergenza.
Nella quarta ipotesi (quindi il bordo di $V={(x,y,z): z <= 4-x^2-y^2, x^2+y^2\leq1$ con $x\in[0,1], y\in[0,1], z\in[0,4]}$ si tratta di trovare la quota in cui il cilindro interseca il paraboloide, a occhio direi $z=3$, e calcolare il flusso uscente come somma della superficie laterale con $z \in [0, 3]$, la base a $z=0$, i due piani laterali e aggiungerci i 3 integrali di flusso dati dallo spicchio del paraboloide per $3\leq z \leq 4$ e i due dati dai piani che vanno a chiudere, non si capisce niente immagino xD Si tratta di farsi un disegno, allora sarà tutto più chiaro. Anche qui vale il teorema della divergenza.
Spero di averti dato buoni suggerimenti e di essere stato d'aiuto
Gli estremi dell'integrale sono presto detti: $u=0->1$ e $v=0->1$.
L'integrale diventa
$\int_0^1 \int_0^1\ (\bbF \cdot \bb\hatn)/(\bb\hatk \cdot\bb\hatn)\ dx\ dy$
siccome $\bb\hatn=(\bbn)/(||\bbn||)=((2x,2y,1))/||(2x,2y,1)||$
l'intgerale diventa
$\int_0^1 \int_0^1\ (\bbF \cdot \bb\n)\ dx\ dy$
$\int_0^1 \int_0^1\ (xy, yz, zx) \cdot (2x,2y,1)\ dx\ dy$
$\int_0^1\ (2x^2y+ 2y^2z+ zx) \ dy$
si sostituisce $z=4-x^2-y^2$
$\int_0^1 \int_0^1\ (2x^2y+ 8y^2-2x^2y^2-2y^4+ 4x-x^3-xy^2) \ dx\ dy$
$\int_0^1 \int_0^1\ (2/3y+ 8y^2-2/3y^2-2y^4+ 2-1/4-1/2y^2) \ dx\ dy$
$(1/3+8/3-2/9-2/5+7/4-1/6)=(60+480-40-72+315-30)/(180)=(713)/(180)$
salvo errori.
L'integrale diventa
$\int_0^1 \int_0^1\ (\bbF \cdot \bb\hatn)/(\bb\hatk \cdot\bb\hatn)\ dx\ dy$
siccome $\bb\hatn=(\bbn)/(||\bbn||)=((2x,2y,1))/||(2x,2y,1)||$
l'intgerale diventa
$\int_0^1 \int_0^1\ (\bbF \cdot \bb\n)\ dx\ dy$
$\int_0^1 \int_0^1\ (xy, yz, zx) \cdot (2x,2y,1)\ dx\ dy$
$\int_0^1\ (2x^2y+ 2y^2z+ zx) \ dy$
si sostituisce $z=4-x^2-y^2$
$\int_0^1 \int_0^1\ (2x^2y+ 8y^2-2x^2y^2-2y^4+ 4x-x^3-xy^2) \ dx\ dy$
$\int_0^1 \int_0^1\ (2/3y+ 8y^2-2/3y^2-2y^4+ 2-1/4-1/2y^2) \ dx\ dy$
$(1/3+8/3-2/9-2/5+7/4-1/6)=(60+480-40-72+315-30)/(180)=(713)/(180)$
salvo errori.
grazie per le risposte
Potresti gentilmente dirmi come arrivi a questo risultato?
Gli estremi dell'integrale sono presto detti: u=0→1 e v=0→1.
Potresti gentilmente dirmi come arrivi a questo risultato?
Ho seguito il testo dell'esercizio:
che si proietta sul quadrato Q=0≤x≤1,0≤y≤1
piuttosto non si capisce bene cos'è questo:
$C = {(x,y,z):x^2+y^2\leq1 , 0\leqz\leq2} $
Fa parte dell'esercizio o l'hai messo tu ?
che si proietta sul quadrato Q=0≤x≤1,0≤y≤1
piuttosto non si capisce bene cos'è questo:
$C = {(x,y,z):x^2+y^2\leq1 , 0\leqz\leq2} $
Fa parte dell'esercizio o l'hai messo tu ?
Ho seguito il testo dell'esercizio:
che si proietta sul quadrato Q=0≤x≤1,0≤y≤1
e quindi il fatto che sia un paraboloide con una data equazione è superfluo ? non bisogna trovare nessuna intersezione?
Per quanto riguarda $ C={(x,y,z):x^2+y^2\leq1 ; 0\leqz\leq1}$
é una condizione che è fornita dal testo (e sinceramente non riesco proprio a capire cosa farne)!
e la cosa tremenda è che questa è una traccia d'esame!
Cmq Grazie!
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