$f=g\in L^p\Rightarrow f=g$ quasi ovunque?

[DavideGenova1]

Supponiamo che due funzioni $f,g\in L^p(X)$ siano tali che $$\int_X|f-g|^p d\mu=0$$
Se ne può inferire che, per quasi ogni $x\in X$, $f(x)=g(x)$?
Intuitivamente sarei propenso a supporre che sia così, ma non saprei come dimostrarlo a me stesso e non trovo nulla in rete a riguardo...
$\infty$ grazie a tutti!

[spugna2]

In generale si può dire che se l'integrale di una funzione $h$ a valori non negativi è $0$, allora $h(x)=0$ quasi ovunque, infatti...

Se $A=\{ x \in X | h(x)>0 \}$ e $A_n=\{ x \in X | h(x)>1/n \}$, allora $A$ è esprimibile come unione crescente degli $A_n$, ma per ogni $n$ si ha $0=\int_X hd\mu>={\mu(A_n)}/n rArr \mu(A_n)=0$, quindi passando al limite $\mu(A)=0$

[DavideGenova1]

Elegantissima dimostrazione. $\infty$ grazie!

[thecrazy1]

e vale anche per quanto riguarda la convergenza? Cioè se f converge a g in Lp (a me interessa soprattutto il caso p=1) allora f converge a g puntualmente quasi ovunque?

[spugna2]

"thecrazy":e vale anche per quanto riguarda la convergenza? Cioè se f converge a g in Lp (a me interessa soprattutto il caso p=1) allora f converge a g puntualmente quasi ovunque?

Questo è falso, e un controesempio è dato in $L^p( \text{[0,1]} )$ dalla funzione $g-=0$ e dalla successione $I_{ \text{[0,1]} },I_{\text{[0,1/2]}},I_{\text{[1/2,1]}},I_{\text{[0,1/4]}},I_{\text{[1/4,1/2]}},I_{\text{[1/2,3/4]}},I_{\text{[3/4,1]}},I_{\text{[0,1/8]}},...$

Nota che, più in generale, puoi costruire un controesempio in modo analogo se nello spazio $X$ è sempre possibile partizionare un insieme non trascurabile in due insiemi a loro volta non trascurabili (in tal caso si dice che $X$ è uno spazio non atomico, e tutti i sottospazi di $RR^n$ con la misura di Lebesgue godono di questa proprietà), mentre non puoi riuscirci se, per esempio, $X$ è uno spazio con un solo elemento.

[gugo82]

"thecrazy":e vale anche per quanto riguarda la convergenza? Cioè se f converge a g in Lp (a me interessa soprattutto il caso p=1) allora f converge a g puntualmente quasi ovunque?

I generale, la convergenza in $L^p$ non implica la convergenza q.o. di tutta la successione... Tuttavia, vale il seguente fatto:

Se una successione di funzioni misurabili $(f_n)$ (definite su un generico spazio di misura ed a valori in $\RR$ o $\CC$) converge verso $f$ nel senso di $L^p$, allora esiste una sottosuccessione $(f_(n_k))$ che converge verso $f$ q.o.

Viceversa, la convergenza di $(f_n)$ q.o. verso una funzione $f$ non implica, in generale, la convergenza in $L^p$, nemmeno di una sottosuccessione.

Tuttavia, se la convergenza della successione $(f_n)$ è "dominata" (nel senso del Teorema di Lebesgue, i.e. se esiste una maggiorante $\phi >= 0$ sommabile tale che $|f_n|\leq \phi$ q.o. e per ogni $n$), allora la convergenza q.o. implica la convergenza pure in $L^p$ (verso lo stesso limite): questa è una conseguenza del Teorema di Lebesgue.

Questo non esaurisce la casistica possibile, giacché ci sono almeno sette distinti modi in cui una successione di funzioni misurabili può convergere verso una funzione misurabile (precisamente: convergenza puntuale, convergenza puntuale q.o., convergenza uniforme, convergenza uniforme q.o. o in $L^oo$, convergenza quasi uniforme, convergenza in $L^p$, convergenza in misura).
In generale si possono stabilire varie relazioni tra tali modi di convergenza, molte delle quali dipendono dalla finitezza dello spazio di misura sottostante.
Tuttavia, in generale, vale il seguente teorema, che stabilisce una sorta di invarianza del limite rispetto al modo di convergenza:

Se $(f_n)$ è una successione di funzioni misurabili che converge verso $f$ in uno dei modi detti in precedenza e verso $g$ in uno degli altri modi, allora $f=g$ q.o.

Ciò importa che se $f_n->f$ in $L^p$ ed $f_n->g$ q.o., allora $f=g$ q.o.

[thecrazy1]

se fk converge a f in L1(U) posso dire che per ogni g integrabile su U (fk)g converge a fg in L1(U)?

[gugo82]

In generale no, perché la funzione $fg$ potrebbe anche non essere integrabile (così come qualcuna o tutte le $f_ng$).

[thecrazy1]

"gugo82":In generale no, perché la funzione $fg$ potrebbe anche non essere integrabile (così come qualcuna o tutte le $f_ng$).

E se invece fg e tutte le (fk)g sono integrabili? In tal caso (fk)g converge a fg in L1(U)?

[gugo82]

"A occhio", direi di no... Ma devo pensare ad un controesempio.