FFT e DFT
Salve,leggendo un libro mi sono capitati due passaggi matematici simili dai quali non riesco ad uscirmene.Inizio col primo:
$exp(-jωτr) int (du exp(ja(τ^2)/2 (r'-r-u)^2 exp[-ja(τ^2)/2u] rect[r'-r-u] rect )$ di fatto è una convoluzione tra due funzioni...leggo che applica la "fattorizzazione" ovvero da quanto leggo va a fare separatamente la convoluzione tra le due rect che dà come risultato:
$rect[(r'-r)/2] rect[(u-(r'-r)/2)/(1-|r'-r|)]$ e su questo mi trovo.Ma questa fattorizzazione sotto quali ipotesi è possibile?In ogni caso trascurando tale questione con qualche passaggio arriva a:
$exp(-jωτr) rect[(r'-r)/2] int (du exp[-ja(τ^2)(r'-r)(u- (r'-r)/2)] rect[(u-(r'-r)/2)/(1-|r'-r|)]=exp(-jωτr) rect[(r'-r)/2] (sen[a(τ^2)(r'-r)(1-|r'-r|)/2])/((a(τ^2)(r'-r)/2)$
Proprio quest'ultimo passaggio (ovvero la risoluzione dell'integrale) non riesco a farmelo uscire...consigli?Avevo pensato di applicare la formula di eulero e col fatto che c'è la rect escono integrali in seno e coseno in un dominio limitato (dalla rect) e quindi gli integrali esistono però il problema è che mi esce cmq la $j$...
Faccio notare che $a,τ$ sono delle costanti.
Un analogo problema ce l'ho con la convoluzione tempo-discreta:per $n'>0$
$sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 2πd^2/(λr) k^2] exp[j 2πd^2/(λr) (n'-k)^2]=sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 4πd^2/(λr) n' (k-(n')/2)]$ e fin qui quasi tutto ok,ovvero ho ancora una convoluzione tra due funzioni nella variabile $n'$ che varia in un insieme discreto tra $-N,N$,il quasi è relativo agli indici della sommatoria che non mi sono ben chiari:non dovrei aver che $k$ va da $-N$ a $N$?In ogni caso il passaggio di dopo è il seguente:
$sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 4πd^2/(λr) n' (k-(n')/2)]=sum_(k=-(N-(n')/2))^(N-(n')/2) exp[-j 4πd^2/(λr) n'k]$ e fin qui mi trovo il problema è nella risouluzione della sommatoria:
$sum_(k=-(N-(n')/2))^(N-(n')/2) exp[-j 4πd^2/(λr) n'k]=(sen[2πd^2/(λr) n' (2N+1-n')])/(sen(2πd^2/(λr) n') $
dice poi che analoghi risultati si hanno nel caso in cui $n'<0$
Non so se qualcuno avrà la pazienza di leggere,in ogni caso grazie.
$exp(-jωτr) int (du exp(ja(τ^2)/2 (r'-r-u)^2 exp[-ja(τ^2)/2u] rect[r'-r-u] rect )$ di fatto è una convoluzione tra due funzioni...leggo che applica la "fattorizzazione" ovvero da quanto leggo va a fare separatamente la convoluzione tra le due rect che dà come risultato:
$rect[(r'-r)/2] rect[(u-(r'-r)/2)/(1-|r'-r|)]$ e su questo mi trovo.Ma questa fattorizzazione sotto quali ipotesi è possibile?In ogni caso trascurando tale questione con qualche passaggio arriva a:
$exp(-jωτr) rect[(r'-r)/2] int (du exp[-ja(τ^2)(r'-r)(u- (r'-r)/2)] rect[(u-(r'-r)/2)/(1-|r'-r|)]=exp(-jωτr) rect[(r'-r)/2] (sen[a(τ^2)(r'-r)(1-|r'-r|)/2])/((a(τ^2)(r'-r)/2)$
Proprio quest'ultimo passaggio (ovvero la risoluzione dell'integrale) non riesco a farmelo uscire...consigli?Avevo pensato di applicare la formula di eulero e col fatto che c'è la rect escono integrali in seno e coseno in un dominio limitato (dalla rect) e quindi gli integrali esistono però il problema è che mi esce cmq la $j$...
Faccio notare che $a,τ$ sono delle costanti.
Un analogo problema ce l'ho con la convoluzione tempo-discreta:per $n'>0$
$sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 2πd^2/(λr) k^2] exp[j 2πd^2/(λr) (n'-k)^2]=sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 4πd^2/(λr) n' (k-(n')/2)]$ e fin qui quasi tutto ok,ovvero ho ancora una convoluzione tra due funzioni nella variabile $n'$ che varia in un insieme discreto tra $-N,N$,il quasi è relativo agli indici della sommatoria che non mi sono ben chiari:non dovrei aver che $k$ va da $-N$ a $N$?In ogni caso il passaggio di dopo è il seguente:
$sum_(K=n'-N)^(N) exp [-j 4πd^2/(λr) n' (k-(n')/2)]=sum_(k=-(N-(n')/2))^(N-(n')/2) exp[-j 4πd^2/(λr) n'k]$ e fin qui mi trovo il problema è nella risouluzione della sommatoria:
$sum_(k=-(N-(n')/2))^(N-(n')/2) exp[-j 4πd^2/(λr) n'k]=(sen[2πd^2/(λr) n' (2N+1-n')])/(sen(2πd^2/(λr) n') $
dice poi che analoghi risultati si hanno nel caso in cui $n'<0$
Non so se qualcuno avrà la pazienza di leggere,in ogni caso grazie.
Risposte
oddio non si capisce una se...ria mazza di quello che hai scritto 
concordo!
Cmq sono riuscito a capire quei passaggi,a volte troppi simboli generano confusione!
Grazie lo stesso
Cmq sono riuscito a capire quei passaggi,a volte troppi simboli generano confusione!
Grazie lo stesso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo