Fermat - Dimostrazione per assurdo

[Plepp]

Buon pomeriggio ragazzi.

Sono ricapitato sul Teorema di Fermat:

Se $x_0$ è un punto di massimo locale interno per $f:A\to RR$ e $f$ è derivabile in $x_0$ si ha che $f'(x_0)=0$.

Nella dimostrazione che ho qui davanti si procede per assurdo, dimostrando che non può essere né $f'(x_0)>0$ né $f'(x_0)<0$. Si comincia col provare che dal supporre $f'(x_0)>0$ si perviene a un assurdo. In particolare:

[*:343d3tl3] se $f'(x_0)>0$, allora $f$ è crescente in $x_0$; ciò vuol dire che $\exists U_1$ intorno di $x_0$ tale che $\forall x\in U_1$, $x>x_0$, è $f(x)>f(x_0)$ (è legittimo supporre $U_1\subset A$, giacché $x_0\in A^\circ$);[/*:m:343d3tl3]
[*:343d3tl3] poiché $x_0$ è un punto di massimo locale, $\exists U_2$ intorno di $x_0$ (anche in questo caso possiamo supporre $U_2\subset A$) tale che $\forall x\in U_2$, $x>x_0$, si ha $f(x)\le f(x_0)$.[/*:m:343d3tl3][/list:u:343d3tl3]
Le due disuguaglianze ottenute valgono simultaneamente in $U:=U_1\cup U_2$: si ha l'assurdo. In maniera analoga si dimostra che non può essere $f'(x_0)<0$.

Il mio dubbio è questo: da quel che mi pare di capire, l'ipotesi che $x_0$ stia in $A^\circ$ ci garantisce l'esistenza di punti $x$ in $A$ maggiori di $x_0$, per cui le due implicazioni che abbiamo ricavato poco fa hanno senso.
Mi chiedo: se tali punti $x>x_0$ non esistessero, sarebbero comunque vere le implicazioni
\[x>x_0\implies f(x)> f(x_0)\\
x>x_0\implies f(x)\le f(x_0)\\
\]
giacché le premesse son false, quindi si avrebbe comunque l'assurdo.

Sicuramente c'è qualcosa che non so / mi sfugge su come funziona la reductio ad absurdum Dov'è il problema? (non siate cattivi, so che probabilmente si tratta di una minchiata )

[Rigel1]

Infatti in quel caso hai comunque un assurdo.
In generale, se \(f\) è derivabile in \([a,b]\) e \(a\) è un punto di massimo relativo, avrai che \(f'(a) \leq 0\) (quindi supporre \(f'(a) > 0\) porta comunque ad un assurdo).

[Plepp]

Quindi anche se $x_0$ non è interno, e magari coincide con l'estremo destro di $[a,b]$, posso ottenere l'assurdo e ricavare che dev'essere $f'(x_0)\le 0$. Giusto?

In questo caso, esistono punti $x$ minori di $x_0$, quindi ragionando come prima posso provare che non può essere $f'(x_0)<0$ e quindi ottengo, necessariamente, $f'(x_0)=0$. C'è qualcosa che non quadra ancora

[Plepp]

"Rigel":Infatti in quel caso hai comunque un assurdo.

Aspetta. Come faccio a ottenere l'assurdo? Il problema, pensandoci bene, è proprio che se non esistono punti $x>x_0$, la
"$f(x)>f(x_0)$" non è nemmeno una proposizione (chi sarebbe $f(x)$? ._. ) quindi non può né essere vera né essere falsa...
Certe volte mi sembra che bisognerebbe fare prima un corso di Logica che uno di Matematica ._.

[Rigel1]

Scusa, avevo capito un'altra cosa.
Le implicazioni sono certamente vere, ma per ottenere l'assurdo devi avere un punto \(x>x_0\) tale che, contemporaneamente, \(f(x) > f(x_0)\) e \(f(x) \leq f(x_0)\), punto che invece tu non hai.
Il fatto che un'implicazione sia vera non significa che la conseguenza sia vera (lo è solo se è vera la premessa).

[Plepp]

Ottimo, ottimo Grazie infinite Rigel.