Fattorizzazione di un polinomio curioso (integrale)
Carissimi, ripescando un po nei vecchi testi mi è venuto sottomano un polinomio che mi ha incuriosito.
Ho fatto qualche indagine e alla fine (forse) ho trovato una soluzione.
La domanda è:
come fattorizzare un polinomio del genere facendo uso di SOLI numeri reali?
Preciso che il polinomio da scomporre appare al denomitare di una funzione integranda e che ha messo in seria difficoltà un po di tools cosiddetti CAS.
Il polinomio in questione è:
$( x^4-2x^2+2) $
Potrei fattorizzare con due trinomi di secondo grado come:
$(x^2+ax+b)*(x^2-ax+b) $
da cui ricaviamo a e b.
Avremmo due soluzioni per a e due per b.
Mi chiedo se per scomporre la funzione integranda debbo comunque usarle tutte e quattro o per non incorrere in polinomi a coefficienti complessi posso utilizzarne solo due.
Un grazie a tutti
A.
[xdom="Martino"]Spostato in Analisi (si veda la continuazione della discussione).[/xdom]
Ho fatto qualche indagine e alla fine (forse) ho trovato una soluzione.
La domanda è:
come fattorizzare un polinomio del genere facendo uso di SOLI numeri reali?
Preciso che il polinomio da scomporre appare al denomitare di una funzione integranda e che ha messo in seria difficoltà un po di tools cosiddetti CAS.
Il polinomio in questione è:
$( x^4-2x^2+2) $
Potrei fattorizzare con due trinomi di secondo grado come:
$(x^2+ax+b)*(x^2-ax+b) $
da cui ricaviamo a e b.
Avremmo due soluzioni per a e due per b.
Mi chiedo se per scomporre la funzione integranda debbo comunque usarle tutte e quattro o per non incorrere in polinomi a coefficienti complessi posso utilizzarne solo due.
Un grazie a tutti
A.
[xdom="Martino"]Spostato in Analisi (si veda la continuazione della discussione).[/xdom]
Risposte
Essendo quel trinomio la somma di quadrati
\[
x^4-2x^2+2=x^4-2x^2+1+1=(x^2-1)^2+1
\]
non può [strike]essere scomposto come il prodotto di polinomi a coefficienti reali![/strike] avere radici reali; in conseguenza al Teorema Fondamentale dell'Algebra, questi può essere scomposto come prodotto di polinomi di secondo grado a coefficienti reali e discriminante (strettamente) negativo.
Seguendo la richiesta di Gandalf73, si sta cercando una fattorizzazione del tipo
\[
x^4-2x^2+2=(x^2+a_1x+b_1)(x^2+a_2x+b_2);
\]
per il Principio di Eguaglianza di Polinomi, bisogna risolvere il sistema
\[
\begin{cases}
a_1+a_2=0\\
a_1a_2+b_1+b_2=-2\\
a_1b_2+a_2b_1=0\\
b_1b_2=2
\end{cases}.
\]
Ometto per pigrizia i calcoli!
\[
x^4-2x^2+2=x^4-2x^2+1+1=(x^2-1)^2+1
\]
non può [strike]essere scomposto come il prodotto di polinomi a coefficienti reali![/strike] avere radici reali; in conseguenza al Teorema Fondamentale dell'Algebra, questi può essere scomposto come prodotto di polinomi di secondo grado a coefficienti reali e discriminante (strettamente) negativo.
Seguendo la richiesta di Gandalf73, si sta cercando una fattorizzazione del tipo
\[
x^4-2x^2+2=(x^2+a_1x+b_1)(x^2+a_2x+b_2);
\]
per il Principio di Eguaglianza di Polinomi, bisogna risolvere il sistema
\[
\begin{cases}
a_1+a_2=0\\
a_1a_2+b_1+b_2=-2\\
a_1b_2+a_2b_1=0\\
b_1b_2=2
\end{cases}.
\]
Ometto per pigrizia i calcoli!
Gandalf73, non ho capito la domanda. Una volta fattorizzato il polinomio devi seguire il procedimento standard, ovvero scrivere l'integranda come somma
$\frac{AX+B}{P(X)}+\frac{CX+B}{Q(X)}$
dove $P(X)$ e $Q(X)$ sono i due fattori (se sono distinti), e poi ti riconduci a logaritmi e arcotangenti.
Scriviamo una fattorizzazione così ci capiamo:
$X^4-2X^2+2 = (X^2+sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2}) * (X^2-sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2})$.
Puoi usare questa per risolvere l'integrale.
Comunque ripeto che non ho capito la domanda
$\frac{AX+B}{P(X)}+\frac{CX+B}{Q(X)}$
dove $P(X)$ e $Q(X)$ sono i due fattori (se sono distinti), e poi ti riconduci a logaritmi e arcotangenti.
Scriviamo una fattorizzazione così ci capiamo:
$X^4-2X^2+2 = (X^2+sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2}) * (X^2-sqrt{2+2 sqrt{2}}*X+sqrt{2})$.
Puoi usare questa per risolvere l'integrale.
Comunque ripeto che non ho capito la domanda
@Martino
Perché hai scritto una fattorizzazione e non la fattorizzazione?
Perché hai scritto una fattorizzazione e non la fattorizzazione?
"j18eos":
Essendo quel trinomio la somma di quadrati
\[
x^4-2x^2+2=x^4-2x^2+1+1=(x^2-1)^2+1
\]
non può essere scomposto come il prodotto di polinomi a coefficienti reali!
Come no. Non può essere scomposto in fattori di primo grado a coefficienti reali, ma in fattori di secondo grado sì, infatti Martino lo ha appena fatto.
"@melia":Perché a rigore un'altra fattorizzazione è
@Martino
Perché hai scritto una fattorizzazione e non la fattorizzazione?
$X^4-2X^2+2 = (-X^2-sqrt{2+2 sqrt{2}}*X-sqrt{2}) * (-X^2+sqrt{2+2 sqrt{2}}*X-sqrt{2})$.
Mi sembra che l'OP si stia interrogando sulle possibili multiple fattorizzazioni, per questo ho scritto "una" (tra parentesi, le due che abbiamo discusso sono le uniche (invece no - vedere sotto)).
"Martino":
Mi sembra che l'OP si stia interrogando sulle possibili multiple fattorizzazioni, per questo ho scritto "una" (tra parentesi, le due che abbiamo discusso sono le uniche).
Hai ragione, alla scuola superiore parliamo di una fattorizzazione perché poniamo sempre il termine di grado massimo con il segno positivo.
Grazie
Se è per questo puoi anche moltiplicare un fattore per un qualsiasi numero diverso da $0$ e l'altro fattore per l'inverso (non per forza $-1$.
@melia Ho corretto l'errore, e spiegato perché avevo sbagliato!
Grazie della segnalazione.
Grazie della segnalazione.
In primis grazie a tutti per i preziosissimi interventi.
Dunque l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \frac{2x^2}{x^4-2x^2+2} dx $.
Avendo visto diverse espressioni analitiche per la sua antiderivata mi sono chiesto come mai.
Ora possiamo raccogliere il denominatore come:
$ (x^2-1)^2 +1 $
Con opportune sostituzioni perveniamo all' arcotangente come soluzione dell'integrale.
Oppure fattorizzando il polinomio di quarto grado con due di secondo arriviamo a 4 radici (dicevate non reali?) che portano ad una combinazione lineare di 4 logaritmi come soluzione dell'integrale di partenza.
Quindi in buona sostanza l'antiderivata può avere due espressioni analitiche diverse.
E' corretto o sono in presenza di una eresia?
Dunque l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \frac{2x^2}{x^4-2x^2+2} dx $.
Avendo visto diverse espressioni analitiche per la sua antiderivata mi sono chiesto come mai.
Ora possiamo raccogliere il denominatore come:
$ (x^2-1)^2 +1 $
Con opportune sostituzioni perveniamo all' arcotangente come soluzione dell'integrale.
Oppure fattorizzando il polinomio di quarto grado con due di secondo arriviamo a 4 radici (dicevate non reali?) che portano ad una combinazione lineare di 4 logaritmi come soluzione dell'integrale di partenza.
Quindi in buona sostanza l'antiderivata può avere due espressioni analitiche diverse.
E' corretto o sono in presenza di una eresia?
Perché non ci dici cosa hai trovato integrando?
Nel frattempo sposto in Analisi.
Nel frattempo sposto in Analisi.
Dal polinomio di quarto grado fattorizzato con due di secondo,
occorrerebbe scegliere tra le ulteriori due modalità, dipendenti dal coefficiente "a" , quella che conduce ad una soluzione dell'integrale in cui compaiono logaritmi.
L'argomento di questi però non sembra essere reale.
Lo diverrebbe effettuando il prodotto dei loro argomenti complessi coniugati.
Mi perdo qualcosa?
Un grazie a tutti
occorrerebbe scegliere tra le ulteriori due modalità, dipendenti dal coefficiente "a" , quella che conduce ad una soluzione dell'integrale in cui compaiono logaritmi.
L'argomento di questi però non sembra essere reale.
Lo diverrebbe effettuando il prodotto dei loro argomenti complessi coniugati.
Mi perdo qualcosa?
Un grazie a tutti
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