Fattorizzazione
Ciao a tutti!
Sono alle prese con l'analisi complessa ed ora come ora sono persa in una fattorizzazione che davvero non riesco a fare...
Si tratta di risolvere $ int_(0)^(2pi) dt/(3-2cost+sint) $. Ho trasformato il denominatore ad ottenere $ -2int_(0)^(2pi) e^(it)dt/((2+i)e^(2it)-6e^(it)+2-i) $. Poi ho definito $ gamma $ come la circonferenza centrata nell'origine di raggio unitario e quindi ho ottenuto $ 2iint_(gamma) dz/((2+i)z^2-6z+2-i) $.
Mi trovo ora in difficoltà a fattorizzare il denominatore, per poter trovare i poli...
Secondo la correzione dell'esercizio dovrei ottenere $ (2i)/(2+i)int_(gamma) dz/((z-(2-i))(z-(2-i)/5)) $ .
So come continuare l'esercizio ma non riesco a fattorizzare nel modo giusto... Arrivo ad avere come denominatore $ (z-5/(2+i))(z-1/(2+i)) $ ma come faccio a farlo diventare giusto?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Sono alle prese con l'analisi complessa ed ora come ora sono persa in una fattorizzazione che davvero non riesco a fare...
Si tratta di risolvere $ int_(0)^(2pi) dt/(3-2cost+sint) $. Ho trasformato il denominatore ad ottenere $ -2int_(0)^(2pi) e^(it)dt/((2+i)e^(2it)-6e^(it)+2-i) $. Poi ho definito $ gamma $ come la circonferenza centrata nell'origine di raggio unitario e quindi ho ottenuto $ 2iint_(gamma) dz/((2+i)z^2-6z+2-i) $.
Mi trovo ora in difficoltà a fattorizzare il denominatore, per poter trovare i poli...
Secondo la correzione dell'esercizio dovrei ottenere $ (2i)/(2+i)int_(gamma) dz/((z-(2-i))(z-(2-i)/5)) $ .
So come continuare l'esercizio ma non riesco a fattorizzare nel modo giusto... Arrivo ad avere come denominatore $ (z-5/(2+i))(z-1/(2+i)) $ ma come faccio a farlo diventare giusto?
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Forse sono riuscita a risolvere. Vorrei solo la conferma che è giusto...
Dal momento che $ (2+i)(2-i)=5 $ faccio $ (z-5/(2+i))(z-1/(2+i))=(z-((2+i)(2-1))/(2+i))(z-(((2+i)(2-i))/5)/(2+i))=(z-(2-i))(z- (2-i)/5) $ . Però per far tornare il conto $ (z-(2-i))(z- (2-i)/5)=(2+i)z^2-6z+2-i $ devo moltiplicare il primo membro per $ (2+i) $ , ragione per cui aggiungo $ 1/(2+i) $ davanti all'integrale.
Ho fatto giusto?
Dal momento che $ (2+i)(2-i)=5 $ faccio $ (z-5/(2+i))(z-1/(2+i))=(z-((2+i)(2-1))/(2+i))(z-(((2+i)(2-i))/5)/(2+i))=(z-(2-i))(z- (2-i)/5) $ . Però per far tornare il conto $ (z-(2-i))(z- (2-i)/5)=(2+i)z^2-6z+2-i $ devo moltiplicare il primo membro per $ (2+i) $ , ragione per cui aggiungo $ 1/(2+i) $ davanti all'integrale.
Ho fatto giusto?
Puoi applicare tranquilllamente $z_(1,2)=(-b\pm\sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
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