Fatto generale sulli limiti di successioni (media)

[angus89]

Si voglia dimostrare il fatto generale
se esiste finito $\lim_{n \to \infty}a_n=L$ allora
$\lim_{n \to \infty}(a_1+a_2+...+a_n)/n=L$

Io non sono riuscito a dimostrarlo, stamane il mio prof di analisi me ne ha dato una dimostrazione ma temo (o probabilmente sbglio io) valga per le successioni crescenti...

In pomeriggio posto la dimostrazione, ad ogni modo chiunque disponga di una dimostrazione "pronta" posti pure...

[Lord K]

Io vado ad intuito:

$lim_(n to +oo) (a_1+...+a_n)/n = lim_(n to +oo) [1/n*lim_(n to +oo) (a_1+...+a_n)] = lim_(n to +oo) [1/n*nL]=L$

Infatti:

$AA epsilon >0, EE \bar n: n>=\bar n Rightarrow |(a_1+...+a_n)/n - L|< epsilon$

$ |(a_1+...+a_n)/n - L| = 1/n*|(a_1+...+a_n) - nL| = 1/n*|(a_1-L)+...+(a_n-L)|$

Sappiamo che:

$AA epsilon_i >0, EE \bar n_i: n>=\bar n_iRightarrow |a_i - L|< epsilon_i$

Sia $\bar epsilon = max_i (epsilon_i)$, allora:

$1/n*|(a_1-L)+...+(a_n-L)| <= 1/n |\bar epsilon + ... + \bar epsilon| = 1/n*|n*\bar epsilon| = \bar epsilon$

quindi:

$|(a_1+...+a_n)/n - L| <\bar epsilon$

[gugo82]

Questo è il Teorema di Cesàro sulle medie aritmetiche.

Se vuoi una dimostrazione posso provare: visto che $a_n\to L$, fissato $\epsilon >0$ trovi $\mu \in NN$ in modo che per $n>\mu$ vale $|a_n-L| Prendo $n>mu$ e stimo la distanza tra la media dei primi $n$ termini ed il limite: trovo:

$|(\sum_(k=1)^na_k)/n-L|=|\sum_(k=1)^n(a_k-L)/n|<=1/n\sum_(k=1)^mu |a_k-L|+1/n\sum_(k=mu+1)^n|a_k-L|<=1/n\sum_(k=1)^mu |a_k-L|+1/n\sum_(k=mu+1)^n epsilon/2=1/n\sum_(k=1)^mu |a_k-L|+epsilon/2(n-mu)/n<1/n\sum_(k=1)^mu |a_k-L|+epsilon/2$

(qui ho tenuto presente che $(n-mu)/n<1$ e che $|a_k-L| L'ultimo membro è somma di una costante ($epsilon/2$) e di una successione non negativa infinitesima (di termine generale $b_n:=1/n\sum_(k=1)^mu|a_k-L|$); posso allora determinare $lambda \in NN$ in modo che per $n>lambda$ risulti $b_nnu:=max \{mu ,lambda\}$ trovo:

$|(\sum_(k=1)^na_k)/n-L|
cosicché $(\sum_(k=1)^na_k)/n \to L$.


@Lord K: attento alla definizione di limite.

[Lord K]

Dove?

[gugo82]

"Lord K":Dove?

Qui:

"Lord K":$AA epsilon_i >0, EE \bar n_i: n>=\bar n_iRightarrow |a_i - L|< epsilon_i$

Stai confondendo le cose.
La variabile di limite è $n$? Se sì, dove figura nella disuguaglianza?
La variabile di limite è $i$? Se è così, come fai ad usarla per numerare gli $epsilon$?

[Lord K]

Ho solo fatto confusione con gli indici mi scuso.

[angus89]

leggendo la dimostrazione di Gugo82 mi son reso conto che il mio prof mi ha dimostrato il fatto del tutto generale, ma io ho capito tutt'altro.
Naturalmente grazie mille