Fase di un numero negativo

[fireball-votailprof]

Salve a tutti, scusate la mia domanda ma è da un bel po' che non studiavo e quindi sono un po' arrugginito.

La fase di un numero negativo quanto vale?

[gugo82]

Definisci fase...

[Camillo]

Se intendi l'argomento di un numero negativo rappresentato nel piano complesso vale $pi $ .

[fireball-votailprof]

Mi riferisco alla fase di un numero negativo.

Quindi se devo disegnare il diagramma di Bode della fase relativamente alla funzione $G(s)=k,k<0$, tale diagramma è dato da una retta di valore $pi$?

[gugo82]

"gugo82":Definisci fase...

"Andre@":Mi riferisco alla fase di un numero negativo.

Beh, certo, anche un cavallo è un cavallo; un pitale è un pitale; una funzione è una funzione... E definire significa definire (come avrai capito studiando Matematica).

Tanto per ricordarlo, repetita juvant, la nomenclatura non è universale: quella che (mi pare di capire) chiami molto ingegneristicamente fase, in altri ambiti è detta anomalia o argomento, ad esempio.
Per questo ti ho chiesto di specificare meglio...

[fireball-votailprof]

Hai ragione
Con fase intendo $arctg((Im)/(Re))

[gugo82]

"Andre@":Hai ragione
Con fase intendo $arctg((Im)/(Re))$

Ne deduco che per te i numeri complessi nel primo e nel terzo quadrante (e nel secondo e quarto quadrante) hanno la stessa fase, nonché che i numeri con parte reale nulla non hanno alcuna fase...

Vabbé, se non l'hai letto da nessuna parte, ti rinfresco la memoria.

Definizione: dato un numero complesso [tex]$z \neq 0$[/tex], si chiama argomento (o fase) di [tex]$z$[/tex] ogni numero [tex]$\vartheta \in \mathbb{R}$[/tex] tale che:

(*) [tex]$z=|z|\ (\cos \vartheta +\imath \sin \vartheta)$[/tex].


Osservazione: ogni numero complesso non nullo [tex]$z$[/tex] ha un'infinità numerabile di argomenti i quali, a due a due, differiscono per un multiplo intero di [tex]$2\pi$[/tex]; l'unico argomento che giace nell'intervallo [tex]$]-\pi ,\pi ]$[/tex] (o anche [tex]$[0,2\pi [$[/tex], è questione di gusti) viene detto argomento principale di [tex]$z$[/tex] ed è denotato con [tex]$\text{Arg} z$[/tex].

Per la (*) ogni argomento di [tex]$z$[/tex] verifica la coppia di equazioni:

[tex]$\begin{cases} \cos \vartheta =\frac{\text{Re} z}{|z|} \\ \sin \vartheta =\frac{\text{Im} z}{|z|}\end{cases}$[/tex];

ne consegue che:

\[
\text{Arg} z:=\begin{cases} -\pi +\arctan \frac{\text{Im} z}{\text{Re} z} &\text{, se $\text{Re} z<0$ ed $\text{Im} z<0$} \\ -\frac{\pi }{2} &\text{, se $\text{Re} z=0$ ed $\text{Im} z<0$} \\\arctan \frac{\text{Im} z}{\text{Re} z} &\text{, se $\text{Re} z>0$} \\ \frac{\pi}{2} &\text{, se $\text{Re} z=0$ ed $\text{Im} z>0$} \\ \pi +\arctan \frac{\text{Im} z}{\text{Re} z} &\text{, se $\text{Re} z<0$ ed $\text{Im} z \geq 0$}\end{cases}
\]

cosicché [tex]$\text{Arg} z \in ]-\pi ,\pi]$[/tex].

In altre parole, la relazione [tex]$\text{Arg} z=\arctan \frac{\text{Im} z}{\text{Re} z}$[/tex] vale solo per i numeri complessi nel semipiano [tex]$\text{Re} z>0$[/tex] (ed, al limite, per quelli in [tex]$\{ z\in \mathbb{C} :\ z\neq 0 \text{ e } \text{Re} z\geq 0 \}$[/tex])... Una bella differenza, no?

[fireball-votailprof]

quindi $+-pi$

[gugo82]

L'argomento principale è uno... E la formula te lo fornisce immediatamente: basta leggere con attenzione.

[fireball-votailprof]

"gugo82":L'argomento principale è uno... E la formula te lo fornisce immediatamente: basta leggere con attenzione.

Già c'è $>=$ nell'ultima

pertanto è $pi$

grazie a tutti e due

[aviola1]

Attenzione, lo scrivo più per i lettori, visto che questo post è vecchissimo.
Dal punto di vista matematico dire che la fase/anomalia/argomento di un numero reale negativo è $ \pm \pi $ dovrebbe essere lo stesso, da un punto di vista ingegneristico, per i diagrammi di Bode, no.
La fase di un guadagno negativo è sempre $ - \pi $ perché i guadagni negativi introducono ritardi in fase, non anticipi.

[Alkinesio]

"aviola":Attenzione, lo scrivo più per i lettori, visto che questo post è vecchissimo.
Dal punto di vista matematico dire che la fase/anomalia/argomento di un numero reale negativo è $ \pm \pi $ dovrebbe essere lo stesso, da un punto di vista ingegneristico, per i diagrammi di Bode, no.
La fase di un guadagno negativo è sempre $ - \pi $ perché i guadagni negativi introducono ritardi in fase, non anticipi.

Andrebbe fatta distinzione fra [highlight]poli[/highlight]o [highlight]zeri[/highlight]della funzione di trasferimento espressa in forma di Bode.
In generale è utile considerare:

-> Gli zeri della f.d.t. a parte reale positiva ritardano la fase da una decade prima dalla pulsazione di rottura (geometricamente riducono la pendenza una decade prima e la aumentano della stessa quantità una decade dopo il p.to rottura);
-> Gli zeri della f.d.t. a parte reale negativa anticipano la fase da una decade prima dalla pulsazione di rottura (geometricamente aumentano la pendenza una decade prima e la riducono della stessa quantità una decade dopo il p.to rottura);
-> I poli della f.d.t. a parte reale positiva anticipano la fase da una decade prima dalla pulsazione di rottura (geometricamente aumentano la pendenza una decade prima e la riducono della stessa quantità una decade dopo il p.to rottura);
-> I poli della f.d.t. a parte reale negativa ritardano la fase da una decade prima dalla pulsazione di rottura (geometricamente riducono la pendenza una decade prima e la aumentano della stessa quantità una decade dopo il p.to rottura);

Ricordando che gli zeri sono i polinomi al numeratore e i poli al denominatore nella forma di Bode.
Spero possa aiutare e di essermi espresso correttamente.

[Mephlip]

[xdom="Mephlip"]Alkinesio, benvenuto sul forum. Stai rispondendo ad un messaggio risalente al 2010, con ultimo intervento nel 2012: si tratta di necroposting, è preferibile evitarlo. È il tuo primo intervento, quindi non preoccuparti; in futuro, cortesemente, dovresti evitare di rispondere a messaggi così vecchi. Grazie![/xdom]