Fase di un numero complesso

[paolotesla91]

Salve a tutti. Stamattina studiando per l'esame di elettrotecnica e rivedendomi la dimostrazione del comportamento di un filtro passa-alto sono incappato in questo problemino che non riesco a risolvere. Dovrei determinare la fase del numero complesso:

$C(j\omega)/(1+j\omega\tau)$

che nel mio caso si tratta della funzione di rete del circuito.

Ho provato a cimentarmi e ho ragionato in questo modo: posso riscrivere quel numero complesso come divisione fra due numero complessi $z_1$ e $z_2$ cioè $(z_1)/(z_2)$ dove appunto $z_1=j\omega$ e $z_2=1+j\omega\tau$.

Io so che la fase di un numero complesso la si può trovare in questo modo:

$\{(Re{(z_1)/(z_2)}=|(z_1)/(z_2)|cos(\theta)) , (Im{(z_1)/(z_2}=|(z_1)/(z_2)|sin(\theta)) : }$


Dunque: $\theta=arctan((Im)/(Re))$ ma io trovo sul mio libro che la fase è $\theta=\pi/2-arctan(\omega\tau)$.

Qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi il motivo e i calcoli che ci sono dietro?

Grazie mille in anticipo.




PS. Ho anche provato in questo modo: $C(j\omega)/(1+j\omega\tau) (1-j\omega\tau)/(1-j\omega\tau)$

allora ho che: $C(\omega^2\tau)/(1+\omega^2\tau^2)+Cj (\omega)/(1+\omega^2\tau^2)$

quindi $\theta=arctan(1/(\omega\tau)$.... ?????

[ciampax]

Se $z=x+jy$è un numero complesso, esso si può scrivere in forma polare come $z=\rho(\cos\theta+j\sin\theta)$ avendo effettuato il passaggio a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. L'argomento principale (o fase, come lo chiami tu) è il valore di $\theta\in[0,2\pi)$ che serve a definire questo numero complesso. In generale, come osservi, si ha $\theta=\arctan(y/x)=\arctan[{Im(z)}/{Re(z)}]$, tuttavia bisogna stare accorti nell'uso di questa funzione, in quanto l'arcotangente è definita solo per valori $(-\pi/2,\pi/2)$ mentre noi cerchiamo in generale i valori in $[0,2\pi)$ come dicevo prima. Per cui, in generale, la definizione corretta per determinare la fase è la seguente:
$$1)\ x>0,\ y>0\ \Rightarrow\ \theta=\arctan(y/x)\\ 2)\ x<0,\ y>0 \Rightarrow\ \theta=\pi+\arctan(y/x)\\ 3)\ x<0,\ y<0\ \Rightarrow\ \theta=\pi+\arctan(y/x)\\ 4)\ x>0,\ y<0\ \Rightarrow\ \theta=2\pi+\arctan(y/x)$$
La cosa ha senso perché nei casi 2) e 4) l'arcotangente assume valori negativi e quindi devi sommare periodicità per tornare nell'intervallo giusto.

Detto questo, è facile dimostrare che se hai due numeri complessi $z_k=\rho_k(\cos\theta_k+j\sin\theta_k)$, è facile dimostrare che se $\theta$ è l'argomento di $z_1/z_2$ allora $\theta=\theta_1-\theta_2$. Dalla relazione scritta sopra otteniamo
$$\theta_1=\arctan(\omega/0)=\lim_{a\to 0}\arctan(\omega/a)=\pi/2,\qquad \theta_2=\arctan(\omega\tau/1)=\arctan(\omega\tau)$$
da cui il risultato.

[paolotesla91]

Ciampax sei un mito ....grazie mille per la dritta! mi sto rendendo conto che dovrei sanare un pò di lacune del passato