Fare delle stime precise
Ciao a tutti,
sto risolvendo degli esercizi sulle serie e per alcuni invece di utilizzare i criteri per la convergenza ho preferito utilizzare delle stime fatte attraverso delle disuguaglianze. Il mio dubbio è: come faccio a capire se le stime che faccio sono precise?
Vi faccio un esempio:
i) Voglio studiare la convergenza della serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(logn!)^{\alpha}}$.
Io l'ho risolto così: so che $n! \le n^n$, allora anche $logn! \le logn^n = nlogn$ e poi $nlogn \le n\sqrt{n}$. Ma allora $\frac{1}{(logn!)} \ge \frac{1}{(nlogn)} \ge \frac{1}{(n\sqrt{n})} = \frac{1}{n^{3/2}}$. Quindi dato che $\frac{1}{n^{3\alpha/2}} < \infty \Leftrightarrow \alpha > 2/3$ allora per confronto anche la serie converge se (e solo se ?) $\alpha > 2/3$.
Non sono del tutto convinto che questo procedimento sia completo. Poi se per esempio avessi scritto $nlogn \le n^2$ alla fine avrei ottenuto che la serie convergeva se e solo se $\alpha > 1/2$, quindi un risultato accettabile ma non per il se e solo se. Quindi in che modo posso essere sicuro di aver fatto delle stime precise?
sto risolvendo degli esercizi sulle serie e per alcuni invece di utilizzare i criteri per la convergenza ho preferito utilizzare delle stime fatte attraverso delle disuguaglianze. Il mio dubbio è: come faccio a capire se le stime che faccio sono precise?
Vi faccio un esempio:
i) Voglio studiare la convergenza della serie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(logn!)^{\alpha}}$.
Io l'ho risolto così: so che $n! \le n^n$, allora anche $logn! \le logn^n = nlogn$ e poi $nlogn \le n\sqrt{n}$. Ma allora $\frac{1}{(logn!)} \ge \frac{1}{(nlogn)} \ge \frac{1}{(n\sqrt{n})} = \frac{1}{n^{3/2}}$. Quindi dato che $\frac{1}{n^{3\alpha/2}} < \infty \Leftrightarrow \alpha > 2/3$ allora per confronto anche la serie converge se (e solo se ?) $\alpha > 2/3$.
Non sono del tutto convinto che questo procedimento sia completo. Poi se per esempio avessi scritto $nlogn \le n^2$ alla fine avrei ottenuto che la serie convergeva se e solo se $\alpha > 1/2$, quindi un risultato accettabile ma non per il se e solo se. Quindi in che modo posso essere sicuro di aver fatto delle stime precise?
Risposte
Se la serie la "minori" dovresti trovarne una che diverge, per applicare il teorema del confronto.
Secondo me fai benissimo a fare così. Trova una stima dall'alto per avere delle condizioni sufficienti alla convergenza e (come dice ciampax) una stima dal basso per avere condizioni necessarie. Così usi SOLO il criterio del confronto e non devi ricordarti molti dettagli teorici.
Il cosiddetto "criterio del confronto asintotico" è utile ma nel dubbio sempre meglio ricadere sul teorema del confronto semplice. Alla fine, il criterio del confronto asintotico non è altro che una applicazione del teorema del confronto.
Il cosiddetto "criterio del confronto asintotico" è utile ma nel dubbio sempre meglio ricadere sul teorema del confronto semplice. Alla fine, il criterio del confronto asintotico non è altro che una applicazione del teorema del confronto.
ok, ma come faccio a essere sicuro che basti così? Magari la mia serie converge anche per dei valori di $\alpha$ minori di $2/3$ ma che con le stime che ho fatto io non vengono fuori, come non sarebbero venuti fuori valori inferiori a $1/2$ se avessi fatto la seconda stima di cui ho parlato
Un risultato famoso, che va sotto il nome di formula di Stirling, stabilisce l'equivalenza degli infiniti $n!$ e \(\sqrt{2\pi} n^{n + 1/2} \mathbf{e}^{-n}\)... Potrebbe essere utile.
Altrimenti, un risultato abbastanza sharp ed elegante è la stima di Robbins, ossia:
\[
\sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2} \mathbf{e}^{-n+\frac{1}{12n+1}}
che si ricava sfruttando la convessità; oppure, se vuoi lavorare direttamente con il $\log n!$, usando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, si può trovare l'equivalenza:
\[
\log n! \approx n(\log n -1)\; ,
\]
che è meno precisa delle precedenti, ma molto semplice.
Altrimenti, un risultato abbastanza sharp ed elegante è la stima di Robbins, ossia:
\[
\sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2} \mathbf{e}^{-n+\frac{1}{12n+1}}
che si ricava sfruttando la convessità; oppure, se vuoi lavorare direttamente con il $\log n!$, usando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, si può trovare l'equivalenza:
\[
\log n! \approx n(\log n -1)\; ,
\]
che è meno precisa delle precedenti, ma molto semplice.
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