Far divergere un integrale - Sulla continuità delle trasformate di Riesz
In medias res: con i controesempi son sempre stato piuttosto scarso, e non mi riesce di trovare una funzione \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) continua e a supporto compatto tale che l'integrale \[\lim_{\epsilon \to 0} \int_{|x|>\epsilon} \frac{x_j}{|x|^{n+1}} f(-x) \, dx \]esploda. Il framework in cui sto "lavorando" è quello dei singular integrals (nella fattispecie quella sopra sarebbe la trasformata di Riesz di \(f\) calcolata in \(0\) - mi sono convinto che buttarsi sui conti per un \(t\) generico sia suicida), ma per poter approcciare il problema bastano conoscenze di Analisi II (in un linguaggio più "raffinato" non sto facendo altro che cercando di dimostrare che l'operatore di Riesz non preserva la continuità). Per \(n=1\) è facile trovare un esempio - basta prendere \( f(x) = (1 - |x|)\chi_{\{|x|<1 \}}\) - ma non sono riuscito a gestire i casi \(n \ge 2\)... il problema sostanziale è che, mentre \(1/|x|\) (caso \(n=1\)) è una funzione pari, \(x_j /|x|^{n+1}\) è dispari, e quindi ogni tentativo di usare funzioni a supporto compatto "belle" e pari conduce ad integrande ancora dispari, e il cui integrale è nullo perché il dominio è simmetrico... qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Ci ho pensato un pochino ma non ho trovato niente. Secondo me ti conviene chiedere direttamente ciò che davvero ti interessa: "trovare una funzione continua $f$ tale che la trasformata di Riesz $R_jf$ non è continua". E' una domanda interessante e mi piacerebbe vederne una risposta
Ciao dissonance, quanto tempo! Ho discusso della cosa anche altrove, ma siamo bloccati anche lì. MathSE tace. Ma dopo le vacanze vado direttamente a chiedere lumi a chi (mi) ha posto il problema, e poi eventualmente vi ragguaglio tutti.
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