Far cadere l'unicità del limite
Io so che in uno spazio topologico il $lim_{n\to\infty} x_n = x$ se $\forall U \text{ intorno non vuoto di } x \exists n_U\in\NN : x_n\in U \forall n>n_U$. Ora, se considero lo spazio topologico $(X,\tau)$ con $\tau$ topologia banale ho che l'unico intorno non vuoto contente $x$ è tutto $X$, questo per ogni $x\in X$. E cade l'unicità.
Ma è necessario agire sulla topologia per far cadere l'ipotesi di unicità del limite? È possibile, ad esempio, costruire uno spazio metrico dove a far cadere l'ipotesi è semplicemente la definizione della metrica stessa?
Io ho provato in questo modo: ho considerato una funzione tra due spazi metrici $f: (\RR,\rho)\to(\RR,d)$ dove $d$ è la metrica euclidea $d(x,y)=|x-y|$ e $\rho$ è la metrica discreta $\rho(x,y)=1 \forall x!=y$, $\rho(x,x) = 0$. Allora ho pensato alla definzione di limite negli spazi metrici: ovvero $lim_{x\to x_0} f(x) = \lambda$ significa che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : d(f(x),\lambda)<\epsilon \forall x\in \RR : \rho(x, x_0) <\delta$. Ma questo, con le metriche introdotte, corrisponde ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0} : \rho(x,x_0)=1<\delta$ che equivale ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 1 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$ o, ancora, $\forall \epsilon > 0 |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$. Questa mi sembrerebbe abbastanza per far cadere l'unicità perchè trovo che la distanza di $\lambda$ dall'immagine di $x$ è minore dell'$\epsilon$ fissato, questo per ogni $x$ scelto diverso da $x_0$. Quindi, non avendo il vincolo di dover trovare le $x$ "abbastanza vicine" ad $x_0$ sono portato a pensare che niente escluda la possibilità di trovare dei $\lambda_i$ tutti diversi e tutti soddisfacenti la condizione $|f(x)-\lambda_i|<\epsilon$, una volta fissato $\epsilon$.
Ma non ne sono sicuro... sapreste dirmi se le mie affermazioni sono corrette?
Ma è necessario agire sulla topologia per far cadere l'ipotesi di unicità del limite? È possibile, ad esempio, costruire uno spazio metrico dove a far cadere l'ipotesi è semplicemente la definizione della metrica stessa?
Io ho provato in questo modo: ho considerato una funzione tra due spazi metrici $f: (\RR,\rho)\to(\RR,d)$ dove $d$ è la metrica euclidea $d(x,y)=|x-y|$ e $\rho$ è la metrica discreta $\rho(x,y)=1 \forall x!=y$, $\rho(x,x) = 0$. Allora ho pensato alla definzione di limite negli spazi metrici: ovvero $lim_{x\to x_0} f(x) = \lambda$ significa che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : d(f(x),\lambda)<\epsilon \forall x\in \RR : \rho(x, x_0) <\delta$. Ma questo, con le metriche introdotte, corrisponde ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0} : \rho(x,x_0)=1<\delta$ che equivale ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 1 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$ o, ancora, $\forall \epsilon > 0 |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$. Questa mi sembrerebbe abbastanza per far cadere l'unicità perchè trovo che la distanza di $\lambda$ dall'immagine di $x$ è minore dell'$\epsilon$ fissato, questo per ogni $x$ scelto diverso da $x_0$. Quindi, non avendo il vincolo di dover trovare le $x$ "abbastanza vicine" ad $x_0$ sono portato a pensare che niente escluda la possibilità di trovare dei $\lambda_i$ tutti diversi e tutti soddisfacenti la condizione $|f(x)-\lambda_i|<\epsilon$, una volta fissato $\epsilon$.
Ma non ne sono sicuro... sapreste dirmi se le mie affermazioni sono corrette?
Risposte
Niente da fare con gli spazi metrici. La topologia indotta è di Hausdorff e quindi hai unicità del limite.
Suggerimenti:
- ok, provaci ancora Sam
- cercare sui libri (magari anche in rete)
- cercare sul forum. Dove trovi questo, ad esempio (non farti ingannare da titolo e sezione e primi post: guarda a partire dalla fine della prima paginata del thread):
https://www.matematicamente.it/forum/com ... ht=martino
Suggerimenti:
- ok, provaci ancora Sam
- cercare sui libri (magari anche in rete)
- cercare sul forum. Dove trovi questo, ad esempio (non farti ingannare da titolo e sezione e primi post: guarda a partire dalla fine della prima paginata del thread):
https://www.matematicamente.it/forum/com ... ht=martino
mh.
Sapresti dunque indicarmi dove ho commesso errori nel mio precedente tentativo?
Sapresti dunque indicarmi dove ho commesso errori nel mio precedente tentativo?
Questo topc mi aveva interessato, poi è caduto.
Non sono troppo sicuro e quindi non avevo risposto, ma ho l'impressione che il ragionamento cada perché tu per tutto il tempo hai lavorato sullo spazio metrico, e non sullo spazio topologico indotto, che è cosa ben diversa.
Spero arrivi conferma da qualche parte.
Ciao!
Non sono troppo sicuro e quindi non avevo risposto, ma ho l'impressione che il ragionamento cada perché tu per tutto il tempo hai lavorato sullo spazio metrico, e non sullo spazio topologico indotto, che è cosa ben diversa.
Spero arrivi conferma da qualche parte.
Ciao!
"Injo":
Ma questo, con le metriche introdotte, corrisponde ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0} : \rho(x,x_0)=1<\delta$ che equivale ad affermare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 1 : |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$ o, ancora, $\forall \epsilon > 0 |f(x)-\lambda|<\epsilon \forall x\in \RR-{x_0}$. Questa mi sembrerebbe abbastanza per far cadere l'unicità perchè trovo che la distanza di $\lambda$ dall'immagine di $x$ è minore dell'$\epsilon$ fissato, questo per ogni $x$ scelto diverso da $x_0$. Quindi, non avendo il vincolo di dover trovare le $x$ "abbastanza vicine" ad $x_0$ sono portato a pensare che niente escluda la possibilità di trovare dei $\lambda_i$ tutti diversi e tutti soddisfacenti la condizione $|f(x)-\lambda_i|<\epsilon$, una volta fissato $\epsilon$.
Ma non ne sono sicuro... sapreste dirmi se le mie affermazioni sono corrette?
da qua in poi non capisco nulla....... che $\delta$ avresti scelto?
ciò che succede è che se fissi un $\epsilon$ e provi a scegliere un $\delta>=1$ questo non andrà mai bene visto che scegliere $\delta>1$ equivale a prendere tutto lo spazio come intorno. Sei alloa forzato a prendere un $\delta<1$ ma allora prendi solo il punto $x$ di partenza e allora il $\lambda$ \'e forzato ad essere proprio l'immagine del punto $f(x)$....
inoltre con gli stessi ragionamenti dimostri che la funzione è continua... cosa evidente a priori visto che la topologia in partenza è discreta...
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