F Uniformemente continua sse f quasi lipschitziana
Sia \( A=(a,b) \) con \( a,b \in \mathbb{R} \cup \{ - \infty , + \infty \}\), sia \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) diciamo che $f$ è "quasi" lipschitziana se
\( \forall \epsilon >0, \exists L >0\) t.q. \(\forall x,y \in A \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \epsilon \)
Dimostrare che \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) uniformemente continua se e solo se è "quasi" lipschitziana.
ps: "quasi" l'ho messo tra le virgolette siccome facendo matematica in francese non ho idea di come tradurlo, ho cercato in italiano la traduzione di "presque lipschitzienne", ma non ho trovato nulla a riguardo.
Dimostrazione: " \( \Leftarrow \) "
Siccome \( f \) è quasi lipschitziana abbiamo per definizione:
\( \forall \epsilon >0, \exists L >0 \) t.q. \( \forall x,y \in A \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \frac{\epsilon}{2} \)
Dunque per \( \delta = \frac{\epsilon}{2L} \) abbiamo che
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta \geq 0 \) t.q. \( \forall x,y \in A \) abbiamo che se \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Dunque \( f \) è uniformemente continua.
Il mio dubbio sta nell'altra direzione " \( \Rightarrow \) "
Siccome $f$ è uniformemente continua abbiamo per definizione che
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta \geq 0 \) t.q. \(\forall x,y \in A \) abbiamo che se \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Dunque \(\forall \epsilon>0\) se \( 0<\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \), allora \( \forall L >0 \) risulta che:
\(\begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \leq \epsilon + L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \epsilon + L \delta \)
Dunque, se \(\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \geq \delta \) e supponiamo \(x
Risulta dunque che
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x) - f(k_1) + f(k_1) + \ldots - f(k_n) + f(k_n)- f(y) \end{vmatrix} \)
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} f(x) - f(k_1) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(k_n) - f(y) \end{vmatrix} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\begin{vmatrix} f(k_i) - f(k_{i+1}) \end{vmatrix} \)
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq n\epsilon \leq (n+1)\epsilon \leq \frac{\epsilon}{\delta} \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \epsilon \)
Dunque per \( L = \frac{\epsilon}{\delta} \) la funzione \( f\) è quasi lipschitziana.
Pertanto abbiamo che una tale \( f \) è uniformemente continua se e solo se è quasi lipschitziana.
Ho tre dubbi
1) Posso considerare (nel caso che l'errore tra $x$ e $y$ sia più grande di $\delta$ ) $x,y$ come fissi e partizionare in tal modo l'insieme $[x,y]$ ?
2) Nel caso che \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \) ho trovato che va bene qualunque $L$ positivo (strettamente), alla fine la costante $L$ "finale" che mi assicura che per tutte la funzione soddisfa la definizione di quasi lipschitz, è comunque solamente \( L = \frac{\epsilon}{\delta} \), giusto?
3) Posso partizionare direttamente l'insieme $(a,b)$ in modo analogo oppure visto che è un aperto possono succedere cose strane ed è meglio di no?
Grazie infinite!
\( \forall \epsilon >0, \exists L >0\) t.q. \(\forall x,y \in A \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \epsilon \)
Dimostrare che \( f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) uniformemente continua se e solo se è "quasi" lipschitziana.
ps: "quasi" l'ho messo tra le virgolette siccome facendo matematica in francese non ho idea di come tradurlo, ho cercato in italiano la traduzione di "presque lipschitzienne", ma non ho trovato nulla a riguardo.
Dimostrazione: " \( \Leftarrow \) "
Siccome \( f \) è quasi lipschitziana abbiamo per definizione:
\( \forall \epsilon >0, \exists L >0 \) t.q. \( \forall x,y \in A \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \frac{\epsilon}{2} \)
Dunque per \( \delta = \frac{\epsilon}{2L} \) abbiamo che
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta \geq 0 \) t.q. \( \forall x,y \in A \) abbiamo che se \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Dunque \( f \) è uniformemente continua.
Il mio dubbio sta nell'altra direzione " \( \Rightarrow \) "
Siccome $f$ è uniformemente continua abbiamo per definizione che
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta \geq 0 \) t.q. \(\forall x,y \in A \) abbiamo che se \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \)
Dunque \(\forall \epsilon>0\) se \( 0<\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \), allora \( \forall L >0 \) risulta che:
\(\begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \epsilon \leq \epsilon + L \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \epsilon + L \delta \)
Dunque, se \(\begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \geq \delta \) e supponiamo \(x
Risulta dunque che
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x) - f(k_1) + f(k_1) + \ldots - f(k_n) + f(k_n)- f(y) \end{vmatrix} \)
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} f(x) - f(k_1) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(k_n) - f(y) \end{vmatrix} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\begin{vmatrix} f(k_i) - f(k_{i+1}) \end{vmatrix} \)
\( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq n\epsilon \leq (n+1)\epsilon \leq \frac{\epsilon}{\delta} \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} + \epsilon \)
Dunque per \( L = \frac{\epsilon}{\delta} \) la funzione \( f\) è quasi lipschitziana.
Pertanto abbiamo che una tale \( f \) è uniformemente continua se e solo se è quasi lipschitziana.
Ho tre dubbi
1) Posso considerare (nel caso che l'errore tra $x$ e $y$ sia più grande di $\delta$ ) $x,y$ come fissi e partizionare in tal modo l'insieme $[x,y]$ ?
2) Nel caso che \( \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \leq \delta \) ho trovato che va bene qualunque $L$ positivo (strettamente), alla fine la costante $L$ "finale" che mi assicura che per tutte la funzione soddisfa la definizione di quasi lipschitz, è comunque solamente \( L = \frac{\epsilon}{\delta} \), giusto?
3) Posso partizionare direttamente l'insieme $(a,b)$ in modo analogo oppure visto che è un aperto possono succedere cose strane ed è meglio di no?
Grazie infinite!
Risposte
È corretto.
Dubbio 1) Non capisco, non è forse esattamente ciò che hai fatto?
Dubbio 2) Certo.
Dubbio 3) Non puoi, non tanto perché sia aperto, quanto piuttosto perché \(a\) e \(b\) potrebbero essere infiniti.
Infine, sono d'accordo con la tua traduzione dal francese.
[ot]Sei di madrelingua francese?[/ot]
Dubbio 1) Non capisco, non è forse esattamente ciò che hai fatto?
Dubbio 2) Certo.
Dubbio 3) Non puoi, non tanto perché sia aperto, quanto piuttosto perché \(a\) e \(b\) potrebbero essere infiniti.
Infine, sono d'accordo con la tua traduzione dal francese.
[ot]Sei di madrelingua francese?[/ot]
"dissonance":
È corretto.
Dubbio 1) Non capisco, non è forse esattamente ciò che hai fatto?
Dubbio 2) Certo.
Dubbio 3) Non puoi, non tanto perché sia aperto, quanto piuttosto perché \(a\) e \(b\) potrebbero essere infiniti.
Infine, sono d'accordo con la tua traduzione dal francese.
[ot]Sei di madrelingua francese?[/ot]
Grazie per avermi chiarito le idee
Dubbio 1) Si, è quello che ho fatto, ma non ero sicuro di poterlo fare.
[ot]No, sono madrelingua italiano, ma studio matematica in francese e dunque ogni tanto non so come tradurre alcuni termini in italiano.[/ot]
Studi in Francia?
Comunque, avrei un altro commento sul Dubbio 3. Stiamo parlando del dominio di \(f\), che può essere l'intervallo \((a, b)\) o \([a, b]\), e tu chiedevi se ci fosse qualche differenza tra i due casi.
Il mio commento è che, se \(a\) e \(b\) sono numeri finiti, la funzione \(f\) ammette una estensione unica per continuità da \((a, b)\) ad \([a, b]\), perché è uniformemente continua. Quindi, in questo caso, non fa differenza quale dei due intervalli tu consideri.
La dimostrazione di questo fatto è molto semplice. Osserviamo che, essendo uniformemente continua, la funzione \(f\) ha la proprietà che \(f(x_n)\) è una successione di Cauchy se \(x_n\) è una successione di Cauchy. Ora, se \(a_n\in (a, b)\) è tale che \(a_n\to a\), allora essa è una successione di Cauchy, e quindi \(f(a_n)\) è anch'essa di Cauchy. Perciò, esiste \(l\in \mathbb R\) tale che \(f(a_n)\to l\). Tale limite non dipende dalla successione \(a_n\) considerata, perché se \(a'_n\to a\), allora \(|f(a_n)-f(a'_n)|\to 0\), dove abbiamo usato ancora una volta la continuità uniforme. Possiamo concludere che
\[
\lim_{x\to a} f(x)=l, \]
e quindi, definendo \(f(a):=l\), abbiamo esteso \(f\) da \((a, b)\) ad \([a, b)\) preservando la continuità (e in effetti anche la continuità uniforme).
Se \(a=-\infty\) oppure \(b=+\infty\) la dimostrazione di sopra fallisce; una successione \(a_n\) tale che \(a_n\to -\infty\) non è di Cauchy. Si potrebbe congetturare che la funzione uniformemente continua \(f\) dovrebbe ammettere limite a \(\pm \infty\), ma ciò è falso; \(f(x)=\cos x\) è un controesempio. In questo caso, quindi, bisogna proprio procedere come tu hai fatto.
Il mio commento è che, se \(a\) e \(b\) sono numeri finiti, la funzione \(f\) ammette una estensione unica per continuità da \((a, b)\) ad \([a, b]\), perché è uniformemente continua. Quindi, in questo caso, non fa differenza quale dei due intervalli tu consideri.
La dimostrazione di questo fatto è molto semplice. Osserviamo che, essendo uniformemente continua, la funzione \(f\) ha la proprietà che \(f(x_n)\) è una successione di Cauchy se \(x_n\) è una successione di Cauchy. Ora, se \(a_n\in (a, b)\) è tale che \(a_n\to a\), allora essa è una successione di Cauchy, e quindi \(f(a_n)\) è anch'essa di Cauchy. Perciò, esiste \(l\in \mathbb R\) tale che \(f(a_n)\to l\). Tale limite non dipende dalla successione \(a_n\) considerata, perché se \(a'_n\to a\), allora \(|f(a_n)-f(a'_n)|\to 0\), dove abbiamo usato ancora una volta la continuità uniforme. Possiamo concludere che
\[
\lim_{x\to a} f(x)=l, \]
e quindi, definendo \(f(a):=l\), abbiamo esteso \(f\) da \((a, b)\) ad \([a, b)\) preservando la continuità (e in effetti anche la continuità uniforme).
Se \(a=-\infty\) oppure \(b=+\infty\) la dimostrazione di sopra fallisce; una successione \(a_n\) tale che \(a_n\to -\infty\) non è di Cauchy. Si potrebbe congetturare che la funzione uniformemente continua \(f\) dovrebbe ammettere limite a \(\pm \infty\), ma ciò è falso; \(f(x)=\cos x\) è un controesempio. In questo caso, quindi, bisogna proprio procedere come tu hai fatto.
Sei stato chiarissimo, grazie infinite 
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