F $in$ Lp allora $f^p$ $in$ L1

[ti2012]

Buonasera. Scusatemi nel materiale di studio c'è scritto che se abbiamo una funzione f $in$ $L^p$ allora $f^p$ $in$ $L^1$. Il mio dubbio è: dalla definizione di funzione $in$ $L^1$ non dovremmo avere |$f^p$| nell'integrando che ci porta a dire che se f $in$ $L^p$ allora $f^p$ $in$ $L^1$? Invece c'è $|f|^p$.
Se abbiamo una funzione f complessa misurabile,|$f^p$| è equivalente a $|f|^p$?
Help please .
Grazie tantisssssssime

[dissonance]

La soluzione è molto più semplice: se \(p\) non è intero e \(f\) è una funzione che assume valori negativi o complessi, \(f^p\) non è definita. Quindi non esiste proprio.

Invece \(|f|^p\) è sempre definita e verifica la proprietà che dici.

[ti2012]

Non sono date indicazioni precise se p è intero o no :/.. Non riesco a capire perchè si ha l'implicazione scritta nel titolo del mio argomento :/.
Grazie mille

[ti2012]

"dissonance":
Invece \(|f|^p\) è sempre definita e verifica la proprietà che dici.

Chiedo scusa, per proprietà intendi quella scritta nel titolo del mio argomento? Grazie

[dissonance]

Si, la proprietà è che \(f\in L^p\Leftrightarrow |f|^p\in L^1\) per ogni \(p\in[1, \infty)\). Questo è proprio ovvio. Quanto a \(f^p\), non è ben definita in generale: se \(f(1)=-1\), e se \(p=\frac32\), che cosa sarebbe \(f(1)^p\)?

Ma se \(p\) è un intero allora \(f^p\) è ben definita, perché \(f^p=f\cdot f\cdot \ldots \cdot f\) e chiaramente \(|f^p|=|f|^p\).

Sono cose banali, non ti ci incartare troppo.

[ti2012]

Grazie . Penso di aver capito il "problema derivante" dall'uso di $f^p$ nel caso di f negativa e p non intero.. Però il mio dubbio è, per far in modo che abbiamo l'implicazione che ho scritto nel titolo del mio argomento, ci modifichiamo le cose a convenienza nostra ? Cioè per definizione di funzione $in$ $L^1$ io mi dovrei trovare |$f^p$| nell'integrando che mi porterebbe a dimostrare l'implicazione suddetta e nel mio caso poichè non ci sono precisazioni su p, devo necessariamente mettere in conto che p possa essere anche non intero.
Ancora grazie grazie grazie mille.

[gugo82]

Questa cosa è già stata discussa altrove, quasi negli stessi termini, ed è già stato abbondantemente notato che l'implicazione è falsa (o senza senso).

L'implicazione corretta (se non ci sono ipotesi accessorie sul segno della funzione) è
\[
f\in L^p(X)\quad \Leftrightarrow\quad |f|^p\in L^1(X)\; ,
\]
ed è un'immediata conseguenza della definizione di $L^p(X)$ e di $L^1(X)$.

Tendo a credere che si tratti di un errore di battitura sulle dispense di qualche docente o di qualche studente che ha trascritto male gli appunti del corso.
Così fosse, sarebbe carino se l'errore venisse segnalato all'autore per essere definitivamente corretto.

[dissonance]

"ti2012":ci modifichiamo le cose a convenienza nostra

Ti sembrerà strano ma è proprio così che funziona la matematica. Uno prova a fare qualcosa, non funziona, allora modifica le ipotesi e riprova.

[ti2012]

Grazie mille ad entrambi