F in due variabili d'esame
Salve a tutti! All esame di analisi mi è capitato questo studio di funzioni in due variabili
$ f(x,y)=(e^[(x-1)^2+(y-1)^2]-[(x-1)^2+(y-1)^2]-1)/[(x-1)^2+(y-1)^2]^h $
e mi veniva chiesto di:
determinare, al variare di h in R, l'insieme di defnizione e disegnarlo per h in R+ , specificando
la sua natura topologica. Per h in R+, dire se la funzione è prolungabile per continuitµa nel
punto (1,1). Infne, per h in (0; 2), stabilire per quali direzioni r esiste la derivata direzionale
di f in (1; 1)
Per quanto riguarda l'insieme di definizione direi che è tutto R se h<0, mentre se h>0 $ x != 1 e y != 1 $
Dopo di che non so più andare avanti...potete darmi una mano?
$ f(x,y)=(e^[(x-1)^2+(y-1)^2]-[(x-1)^2+(y-1)^2]-1)/[(x-1)^2+(y-1)^2]^h $
e mi veniva chiesto di:
determinare, al variare di h in R, l'insieme di defnizione e disegnarlo per h in R+ , specificando
la sua natura topologica. Per h in R+, dire se la funzione è prolungabile per continuitµa nel
punto (1,1). Infne, per h in (0; 2), stabilire per quali direzioni r esiste la derivata direzionale
di f in (1; 1)
Per quanto riguarda l'insieme di definizione direi che è tutto R se h<0, mentre se h>0 $ x != 1 e y != 1 $
Dopo di che non so più andare avanti...potete darmi una mano?
Risposte
Il dominio è sempre $D= RR^2\setminus \{(1,1)\}$.
Per rispondere alla maggior parte delle altre domande può essere utile porre
$t = (x-1)^2+(y-1)^2$
e considerare la funzione
$g(t) = \frac{e^t-t-1}{t^h}$, $t>0$.
Per rispondere alla maggior parte delle altre domande può essere utile porre
$t = (x-1)^2+(y-1)^2$
e considerare la funzione
$g(t) = \frac{e^t-t-1}{t^h}$, $t>0$.
Scusa ma perchè il dominio è sempre quello?se h è negativo $ (x-1)^2+(y-1)^2 $ va su e non ho problemi quindi il dominio è tutto $ cc(R) ^2 $
Anche quella sostituzione non mi sembra molto utile,perchè mi chiede continuità e derivabilità in valori di (x,y)
Anche quella sostituzione non mi sembra molto utile,perchè mi chiede continuità e derivabilità in valori di (x,y)
Prima di "andare su" deve essere diverso da $0$.
La funzione $h(x) = x$ è definita su tutto $RR$, ma la funzione $k(x) = (1/x)^{-1}$ è definita in $RR\setminus\{0\}$.
Tornando all'esercizio, per quanto riguarda la prolungabilità con continuità hai che
$\lim_{(x,y)\to (1,1)} f(x,y) = \lim_{t\to 0^+} g(t)$,
dove $g$ è la funzione che ho definito nel precedente post.
Per la derivata direzionale devi invece usare la $f$ di partenza.
La funzione $h(x) = x$ è definita su tutto $RR$, ma la funzione $k(x) = (1/x)^{-1}$ è definita in $RR\setminus\{0\}$.
Tornando all'esercizio, per quanto riguarda la prolungabilità con continuità hai che
$\lim_{(x,y)\to (1,1)} f(x,y) = \lim_{t\to 0^+} g(t)$,
dove $g$ è la funzione che ho definito nel precedente post.
Per la derivata direzionale devi invece usare la $f$ di partenza.
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