F è Lineare?
Salve a tutti, devo risolvere questo esercizio.
Provare che F : M_2(R) --> M_2(R) / f(A) = A - A^t (trasposta di A) è lineare.
So che per farlo bisogna far vedere che essa è additiva ed omogenea.
allora se:
a b
c d = A
0 b-c
c-b 0 = F(A)
Additività: (th: F(A + B) = F(A) + F(B));
a b
c d = A
e f
g h = B
a+e b+f
c+g d+g = F(A + B)
ma poi come si procede?
Grazie anticipate.
Provare che F : M_2(R) --> M_2(R) / f(A) = A - A^t (trasposta di A) è lineare.
So che per farlo bisogna far vedere che essa è additiva ed omogenea.
allora se:
a b
c d = A
0 b-c
c-b 0 = F(A)
Additività: (th: F(A + B) = F(A) + F(B));
a b
c d = A
e f
g h = B
a+e b+f
c+g d+g = F(A + B)
ma poi come si procede?
Grazie anticipate.
Risposte
L'ultima cosa che hai scritto non è F(A+B) ma è A+B ( a parte l'errore d+g che invece è d+h .
Adesso scrivi F(B) , facile..
poi fai F(A) + F(B) facile
adesso calcola F(A+B) che sarà : [ 0,(b+f-c-g); (c+g-b-f), 0] e confrontalo con F(A)+F(B) e vedrai che sono uguali .
Camillo
Adesso scrivi F(B) , facile..
poi fai F(A) + F(B) facile
adesso calcola F(A+B) che sarà : [ 0,(b+f-c-g); (c+g-b-f), 0] e confrontalo con F(A)+F(B) e vedrai che sono uguali .
Camillo
Poi si deve verificare l'omogeneità , cioè che :
F(kA) = k F(A)
prova a dimostrarlo ..
Camillo
F(kA) = k F(A)
prova a dimostrarlo ..
Camillo
pivot scusa posso chiederti che esame dei dare (Analisi A) e che corso di laurea stai facendo?
Marvin
Marvin
ok grazie camillo.
Devo fare l'esame di algebra e geometria. Perchè?
Devo fare l'esame di algebra e geometria. Perchè?
Vedo dai tuoi post che stai facendo esercizi simili a quelli che sto facendo io..lunedì devo dare Analisi A e le matrici sono decisamente il fulcro di questo primo parziale
si hai ragione ma non sono poi tanto difficili rispetto ai sistemi lineari. in bocca al lupo per il tuo esame.
Salve, sono Armando.
Vorrei porvi alcune domande sulle applicazioni lineari.
Vorrei porvi alcune domande sulle applicazioni lineari.
Ecco cosa mi è capitato:
Si determini un'applicazione lineare f:Ralla terza-->R allaterza tale che si verifichino simultaneamente:
-le immagini dei vettori della base canonica non abbiano componenti razionali;
-f non sia suriettiva;
-f sia diagonalizzabile.
Scrivere infine la matrice che rappresenta f in una base di vettori.
Qualcuno di buona volontà può aiutarmi?
[/url]
Si determini un'applicazione lineare f:Ralla terza-->R allaterza tale che si verifichino simultaneamente:
-le immagini dei vettori della base canonica non abbiano componenti razionali;
-f non sia suriettiva;
-f sia diagonalizzabile.
Scrivere infine la matrice che rappresenta f in una base di vettori.
Qualcuno di buona volontà può aiutarmi?
[/url]
Un altro quesito era:
si consideri l'endomorfismo
f:(x1,x2,x3,x4)appartenente a R4---->(-2x3,-2x4,-2x1,-2x2)appartenente a R4.
determinare:
-una base di Imf; f è diagonalizzbile?; f è un isomorfismo?
-una base per ogni autospazio.
-una matrice che rappresenta l'endomorfismo f in una base diversa da quella canonica.
-un vettore di componenti tutte irrazionali che non sia un autovettore.
si consideri l'endomorfismo
f:(x1,x2,x3,x4)appartenente a R4---->(-2x3,-2x4,-2x1,-2x2)appartenente a R4.
determinare:
-una base di Imf; f è diagonalizzbile?; f è un isomorfismo?
-una base per ogni autospazio.
-una matrice che rappresenta l'endomorfismo f in una base diversa da quella canonica.
-un vettore di componenti tutte irrazionali che non sia un autovettore.
Una soluzione per il primo esercizio potrebbe essere questa .
Applicazione lineare da $R^3 $ a $R^3$ tale che i trasformati dei vettori $e_1,e_2,e_3$ abbiano tutte le componenti irrazionali.
L'applicazione non deve essere suriettiva e quindi Im f non deve essere $R^3$, ma ad esempio $R^2$; quindi la matrice rappresentativa della trasformazione dovrà avere rango 2 e conseguentemente dim Im f = 2 ; una colonna della matrice dovrà essere multiplo di un'altra colonna .
Ho pensato a questa trasformazione che rappresento addirittura con la sua matrice :
$[(sqrt(2),sqrt(3),2*sqrt(2)),(sqrt(3),sqrt(2),2*sqrt(3)),(sqrt(5),sqrt(5),2*sqrt(5))]$.
I vettori trasformati dei vettori $e_1,e_2,e_3 $ sono :
$f(e_1) = (sqrt(2),sqrt(3),sqrt(5))$
$f(e_2) = (sqrt(3), sqrt(2), sqrt(5))$
$ f(e_3) = (2*sqrt(2),2*sqrt(3),2*sqrt(5))$
e quindi hanno tutte le componeneti irrazionali.
Il rango della matrice è 2( la terza colonna è uguale alla prima moltiplicata per 2 ) e quindi l'applicazione non è suriettiva come richiesto.
Diagonalizzabilità : eseguendo gli opportuni conti si ottiene come equazione caratteristica una equazione di terzo grado con 3 radici reali e distinte e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Camillo
Applicazione lineare da $R^3 $ a $R^3$ tale che i trasformati dei vettori $e_1,e_2,e_3$ abbiano tutte le componenti irrazionali.
L'applicazione non deve essere suriettiva e quindi Im f non deve essere $R^3$, ma ad esempio $R^2$; quindi la matrice rappresentativa della trasformazione dovrà avere rango 2 e conseguentemente dim Im f = 2 ; una colonna della matrice dovrà essere multiplo di un'altra colonna .
Ho pensato a questa trasformazione che rappresento addirittura con la sua matrice :
$[(sqrt(2),sqrt(3),2*sqrt(2)),(sqrt(3),sqrt(2),2*sqrt(3)),(sqrt(5),sqrt(5),2*sqrt(5))]$.
I vettori trasformati dei vettori $e_1,e_2,e_3 $ sono :
$f(e_1) = (sqrt(2),sqrt(3),sqrt(5))$
$f(e_2) = (sqrt(3), sqrt(2), sqrt(5))$
$ f(e_3) = (2*sqrt(2),2*sqrt(3),2*sqrt(5))$
e quindi hanno tutte le componeneti irrazionali.
Il rango della matrice è 2( la terza colonna è uguale alla prima moltiplicata per 2 ) e quindi l'applicazione non è suriettiva come richiesto.
Diagonalizzabilità : eseguendo gli opportuni conti si ottiene come equazione caratteristica una equazione di terzo grado con 3 radici reali e distinte e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Camillo
Grazie Camillo. Sei stato molto gentile. Ma sul secondo puoi dirmi qualcosa?
Secondo esercizio .
Endomorfismo f : $(x_1,x_2,x_3,x_4) $app.$R^4 rarr (-2x_3,-2x_4,-2x_1,-2x_2)$ app.$R^4$.
Determino la matrice A della trasformazione :A = $[(0,0,-2,0),(0,0,0,-2),(-2,0,0,0),(0,-2,0,0)]$.
La matrice ha chiaramente rango 4 ; quindi dim Im f = 4 e Im f = $R^4$; inoltre ker f = 0 .
L'applicazione è iniettiva e suriettiva e quindi biiettiva ; pertanto l'endomorfismo f è un isomorfismo.
Le colonne di A sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $ R^4$ :
$ (0,0,-2,0); (0,0,0,-2) ; (-2,0,0,0) ; ( 0,-2,0,0 ) $ ; naturalmente una base è anche quella canonica formata dai vettori :
$e_1 = (1,0,0,0); e_2 = (0,1,0,0) ; e_3 = (0,0,1,0) ; e_4 = ( 0,0,0,1) $.
La matrice A è diagonalizzabile : si trova facilmente che si hanno due radici reali doppie :
$lambda = 2$ ; $ lambda = -2 $ entrambe con molteplicità geometrica pari a 2 .
Per trovare gli autovettori relativi alla prima radice si risolve il sistema omogeneo :
$-2x_1-2x_3 = 0 $
$-2x_2-2x_4 = 0 $
$-2x_1-2x_3 = 0 $
$ -2 x_2 -2x_4= 0 $
da cui : $ x_3 = -x_1 ; x_4 = -x_2 $.
Gli autovettori sono quindi del tipo : $ (a,b,-a,-b) $ ; una base sarà : $(1,0,-1,0); ( 0,1,0,-1) $.
Analogamente per il secondo autovalore si trova :
$ x_1 = x_3 ; x_2 = x_4 $
e quindi gli autovettori sono del tipo :
$ (a,b,a,b)$ ; una base è : $ (1,0,1,0) ; ( 0,1,0,1) $.
Camillo
Endomorfismo f : $(x_1,x_2,x_3,x_4) $app.$R^4 rarr (-2x_3,-2x_4,-2x_1,-2x_2)$ app.$R^4$.
Determino la matrice A della trasformazione :A = $[(0,0,-2,0),(0,0,0,-2),(-2,0,0,0),(0,-2,0,0)]$.
La matrice ha chiaramente rango 4 ; quindi dim Im f = 4 e Im f = $R^4$; inoltre ker f = 0 .
L'applicazione è iniettiva e suriettiva e quindi biiettiva ; pertanto l'endomorfismo f è un isomorfismo.
Le colonne di A sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di $ R^4$ :
$ (0,0,-2,0); (0,0,0,-2) ; (-2,0,0,0) ; ( 0,-2,0,0 ) $ ; naturalmente una base è anche quella canonica formata dai vettori :
$e_1 = (1,0,0,0); e_2 = (0,1,0,0) ; e_3 = (0,0,1,0) ; e_4 = ( 0,0,0,1) $.
La matrice A è diagonalizzabile : si trova facilmente che si hanno due radici reali doppie :
$lambda = 2$ ; $ lambda = -2 $ entrambe con molteplicità geometrica pari a 2 .
Per trovare gli autovettori relativi alla prima radice si risolve il sistema omogeneo :
$-2x_1-2x_3 = 0 $
$-2x_2-2x_4 = 0 $
$-2x_1-2x_3 = 0 $
$ -2 x_2 -2x_4= 0 $
da cui : $ x_3 = -x_1 ; x_4 = -x_2 $.
Gli autovettori sono quindi del tipo : $ (a,b,-a,-b) $ ; una base sarà : $(1,0,-1,0); ( 0,1,0,-1) $.
Analogamente per il secondo autovalore si trova :
$ x_1 = x_3 ; x_2 = x_4 $
e quindi gli autovettori sono del tipo :
$ (a,b,a,b)$ ; una base è : $ (1,0,1,0) ; ( 0,1,0,1) $.
Camillo
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