$f$ è continua $=>$ ammette primitiva

[anto_zoolander]

Ciao
Devo provare a dimostrare questo fatto, e ho provato a farlo così.
Considero $f$ continua in un intervallo aperto $I$

se $f$ è continua in $I$ allora $f$ è continua in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $I$ e quindi è localmente integrabile in $I$

Sia $a inI$ allora $f$ è integrabile in ogni intervallo $[a,x]$ e quindi $F(x)=int_(a)^(x)f(t)dt, forall x inI$ per il teorema fondamentale del calcolo è una primitiva di $f$ in $I$

[dissonance]

Eh già. Qual era la domanda?

[anto_zoolander]

Di dimostrare che: se $f$ è una funzione continua su un intervallo aperto, allora ammette primitiva in quell'intervallo.

Però ora riguardandolo mi sembra di stare mostrando il teorema fondamentale stesso, usando il teorema fondamentale.

[dissonance]

Fermati, fermati, hai finito. La tua dimostrazione va bene.

[anto_zoolander]

Grande

A che ci sono ti posso chiedere una cosa ulteriore? Non la trovo da nessuna parte e ci ho provato io.

Ovvero sia $f$ una funzione continua su un intervallo del tipo $[a,+infty)$ allora;
Se $F(x)=int_(a)^(x)f(t)dt$ converge allora $f(t)$ converge a $0$

L'ho dimostrato così:

Supponiamo per assurdo che $f$ non converga e sia $l>0$

Allora fissato $epsilon=k
$0x__0$

Dunque per $x>x_0$ ho che $int_(a)^(x)(l-k)=(x-a)(l-k)

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[dissonance]

È falso, cerca sul forum, parecchie volte sono stati postati dei controesempi

[anto_zoolander]

Come è falso

Idealmente se una funzione a gradino minora una funzione da un certo punto in poi, l'integrale improprio della funzione a gradino diverge

[otta96]

Questo è vero.

[anto_zoolander]

Le cose sono due essendo dissonance:

O ho sbagliato la dimostrazione(e mi farebbe piacere correggerla)
Oppure ha scambiato quello che volessi dimostrare senza volerlo.

Quindi aspetto

[otta96]

Hai sbagliato la dimostrazione, e precisamente a negare la tesi.

[anto_zoolander]

Io ho considerato solo il caso che $f$ abbia limite diverso da zero, positivo è finito.
Avrei dovuto considerare tutti i casi ma sono tutti analoghi.
Penso sia questa lo sbaglio che ho fatto, correggimi se sbaglio ancora

Avrei dovuto fare per $l$ finito minore di $0$ e poi i casi infiniti ottenendo in tutti i caso una contraddizione

[dissonance]

Chi ti ha detto che il limite esiste? Se il limite $\lim_{x\to \infty} f(x)$ esiste, finito o infinito, allora hai ragione. Altrimenti la tua dimostrazione non è corretta e difatti esistono controesempi molto istruttivi, cerca "spikes" tra i post di Fioravante Patrone

[anto_zoolander]

Giusto.
Quindi bisogna supporre che il limite quantomeno esista, giustamente.

[otta96]

"anto_zoolander":Giusto.
Quindi bisogna supporre che il limite quantomeno esista, giustamente.

Ora ci siamo, più in generale è possibile dimostrare che $\underset{x \to +\infty}{\text{liminf }} f(x)<=0<=\underset{x \to +\infty}{\text{limsup }} f(x)$.

[dissonance]

Mi ricordavo vagamente di questo post:

viewtopic.php?p=351802#p351802

(di OTTO anni fa)

dove si parla proprio del controesempio di cui sopra. Purtroppo il sistema ha cancellato l'immagine ed era proprio quella la cosa più interessante

P.S.: Ho trovato una immagine simile a quella che ricordavo!

https://goo.gl/images/Hvoz92

[anto_zoolander]

Ragazzi sono una povera matricola ahahahah
Quindi se suppongo che $f$ ammette limite posso concludere come ho concluso?

Se non questo non capisco l'errore.
Sicuramente se non ipotizzo che $f$ ammetta limite non posso dir nulla.

Mi sto diciamo 'accanendo' per questo

[otta96]

Hai ragione, è sbagliato su ****, comunque se aggiungi l'ipotesi che abbia limite la tua dimostrazione è giusta.

"anto_zoolander":Sicuramente se non ipotizzo che $f$ ammetta limite non posso dir nulla.

Beh questo non è vero, ti ho già detto cosa puoi dire senza ulteriori ipotesi.

[anto_zoolander]

A negare la tesi

Perfetto. Ovviamente nel quaderno ho fatto tutti i casi ahahaha