F divergente, g limitata - limiti

[Kashaman]

Teorema : Siano $f,g :A -> RR $ $AsubeRR. x_0 in Dr(A)$.
Allora
$(EE lim_(x->x_0)f(x)=-\infty , g$ limitata superiormente)$=> ( EE lim_(x->x_0) (f+g)(x)=-infty)$

Ho pensato di dimostrarlo così :
Sia $M in RR$ . Poiché $g$ è limitata superiormente si ha che
$AA x in A : g(x)<=M$ e cioè che $-M<=-g(x) , AA x in A$ (1). Fisso $\epsilon>0$
Poiché $EE lim_(x->x_0)f(x)=-\infty$ in corrispondenza di $\epsilon - M$ $EE U in I_(x_0) : AA x in UnnA , x!=x_0 : f(x)< -(\epsilon+M)=-\epsilon-M$
Per la (1) si ha che
$f(x)<-\epsilon-g(x) => f(x)+g(x)<-\epsilon$ la tesi.

Che ve ne sembra, può andare?

thanks

[Sk_Anonymous]

Mmm... A me pare che fili, con qualche accorgimento: intanto prenderei, per semplicità, \(\displaystyle M>0 \) - anche se non mi pare che sia strettamente necessario.

Poi, ad un certo punto dici:

"Kashaman":[...] Poiché $EE lim_(x->x_0)f(x)=-\infty$ in corrispondenza di $\epsilon - M$ [...]

e qui dovrebbe essere "in corrispondenza di \(\displaystyle -(\epsilon + M) \)".
Alla fine, siccome \(\displaystyle \epsilon \) è arbitrario, lo prenderai grande a piacere ed avrai \(\displaystyle f(x)+g(x) < -\epsilon \quad \forall \epsilon > 0 \)... Sì, mi pare che funzioni.