F biettiva tra (0,1) e [0,1] (senza Bernstein-Schroeder)
Ciao a tutti, devo svolgere questo esercizio:
Mostrare che gli intervalli (0,1) e [0,1] hanno la stessa cardinalità (provare a dimostrare questo anche senza usare il teorema di Bernstein-Schroeder).
Utilizzando il teorema di Bernstein-Schroeder è banale, ma senza quello non riesco proprio a farlo. Mi date una mano?
Mostrare che gli intervalli (0,1) e [0,1] hanno la stessa cardinalità (provare a dimostrare questo anche senza usare il teorema di Bernstein-Schroeder).
Utilizzando il teorema di Bernstein-Schroeder è banale, ma senza quello non riesco proprio a farlo. Mi date una mano?
Risposte
Basta costruire una biiezione $f:[0,1]\to (0,1)$.
Hai solo due punti che ti danno "fastidio", $0$ e $1$.
Per "sistemare" due punti basta un insieme numerabile (hai presente l'albergo di Hilbert?), dunque puoi procedere così:
intanto costruisci una biiezione fra $A = \{0, 1, 1/2, 1/3, ...\}$ e $B = \{1/2, 1/3, ...\}$, poi lasci tutti gli altri punti fermi.
Più precisamente, puoi definire
$f(0) = 1/2$, $f(1) = 1/3$, $f(1/n) = 1/(n+2)$ per ogni $n\ge 2$ naturale, e $f(x) = x$ per $x\in [0,1]\setminus A$.
Hai solo due punti che ti danno "fastidio", $0$ e $1$.
Per "sistemare" due punti basta un insieme numerabile (hai presente l'albergo di Hilbert?), dunque puoi procedere così:
intanto costruisci una biiezione fra $A = \{0, 1, 1/2, 1/3, ...\}$ e $B = \{1/2, 1/3, ...\}$, poi lasci tutti gli altri punti fermi.
Più precisamente, puoi definire
$f(0) = 1/2$, $f(1) = 1/3$, $f(1/n) = 1/(n+2)$ per ogni $n\ge 2$ naturale, e $f(x) = x$ per $x\in [0,1]\setminus A$.
Faccio un commento del tutto privo di rigore. Trovo veramente notevole il fatto che sia dimostrabile un fatto che a mio parere sfugge completamente all'intuizione. Perché è banale affermare che i due intervalli considerati non possono avere la stessa cardinalità. Nel senso che $[0,1]$ sembrerebbe avere due numeri in più di $(0,1)$. Invece pare non essere così. La cosa mi stupisce assai. Ma forse non ho studiato abbastanza bene Analisi 1. 
Mi ero perso quel thread (dipenderà dal fatto che, negli anni, ho sviluppato una forte forma di allergia all'algebra 
).
Quel che mi piace della costruzione "da algebristi" è il fatto di essere facilmente generalizzabile al caso di $I$ intervallo e $J = I\cup F$ con $F$ insieme finito di punti.
).Quel che mi piace della costruzione "da algebristi" è il fatto di essere facilmente generalizzabile al caso di $I$ intervallo e $J = I\cup F$ con $F$ insieme finito di punti.
@maxsiviero: non c'è bisogno di andare sul continuo per quello, basta il numerabile:
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_ ... di_Hilbert
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_ ... di_Hilbert
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