$f$ ammette derivate parziali di ogni ordine?
Considero la funzione \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) definita da \[f(x,y)= \begin{cases} e^{-\frac{x^2}{y^{2}} - \frac{y^2}{x^2}} & \text{se} \ xy \ne 0 \\ 0 & \text{se} \ xy = 0 \end{cases} \]
E' vero che esistono tutte le derivate parziali \[ \frac{ \partial ^{m+n} f}{\partial x^m \partial y^n}, \quad n,m \in \{0,1,2,\dots\} \]
in \(0 \in \mathbb{R}^2 \) (eventualmente non continue)?
Qualche idea per attaccare il quesito?
Ringrazio.
E' vero che esistono tutte le derivate parziali \[ \frac{ \partial ^{m+n} f}{\partial x^m \partial y^n}, \quad n,m \in \{0,1,2,\dots\} \]
in \(0 \in \mathbb{R}^2 \) (eventualmente non continue)?
Qualche idea per attaccare il quesito?
Ringrazio.
Risposte
Mmmh..iterare induttivamente il teorema di Eulero per le funzioni omogenee?
Al più prova,se l'idea ti par buona,ad usarlo nel piano senza assi cartesiani,
e poi lavora "manualmente" sugli stessi:
il primo che ha qualche dubbio sulla bontà della tecnica son io,
ma ora non posso ragionarci troppo sù..
Saluti dal web.
Al più prova,se l'idea ti par buona,ad usarlo nel piano senza assi cartesiani,
e poi lavora "manualmente" sugli stessi:
il primo che ha qualche dubbio sulla bontà della tecnica son io,
ma ora non posso ragionarci troppo sù..
Saluti dal web.
Inizia a calcolare le derivate parziali in un intorno dell'origine e vedi se, per caso, hanno qualche somiglianza con la funzione di partenza.
A occhio (ma potrei sbagliarmi) direi che si può procedere in maniera simile a quanto si fa per la funzione di una variabile reale
\[
g(x) = \begin{cases}
e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]
A occhio (ma potrei sbagliarmi) direi che si può procedere in maniera simile a quanto si fa per la funzione di una variabile reale
\[
g(x) = \begin{cases}
e^{-1/x^2}, & x\neq 0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]
@theras: provo a ragionarci su, grazie.
@Rigel: mmm, mi sembra che non se ne cavi niente. Nel tuo esempio ci si serve in maniera fondamentale dalla continuità di \(g\) nell'origine, mentre la mia \(f\) non ammette limite se \( (x,y) \to (0,0) \): infatti basta considerare la funzione che sta all'esponente, ossia \[h(x,y)= - \frac{x^4 + y^4}{x^2 y^2 } \] Si ha \[ \lim_{y \to 0} h(y,y)= \lim_{ y \to 0} -\frac{2y^4}{y^4}=-2 \] quindi \( \nexists \; \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \)
@Rigel: mmm, mi sembra che non se ne cavi niente. Nel tuo esempio ci si serve in maniera fondamentale dalla continuità di \(g\) nell'origine, mentre la mia \(f\) non ammette limite se \( (x,y) \to (0,0) \): infatti basta considerare la funzione che sta all'esponente, ossia \[h(x,y)= - \frac{x^4 + y^4}{x^2 y^2 } \] Si ha \[ \lim_{y \to 0} h(y,y)= \lim_{ y \to 0} -\frac{2y^4}{y^4}=-2 \] quindi \( \nexists \; \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \)
Quello che dici è vero, ma pensavo si potesse ragionare sulle sezioni (per le derivate parziali non ti muovi in tutte le direzioni).
Lo so, ma se derivo parzialmente ottengo: \[\frac{\partial f}{\partial x} = f(x,y) \left[ - \frac{2x}{y^2} + \frac{2y^2}{x^3} \right] \] Se poi \( (x,y) \to 0 \) mi sembra ne esca un pastrocchio perché è il termine \( f(x,y) \) che "induttivamente" ( - come nel caso da te citato) dovrebbe annullare le varie derivate parziali...
Spero di non aver frainteso visto che a quest'ora è il mio stomaco che ragiona.
Spero di non aver frainteso visto che a quest'ora è il mio stomaco che ragiona.
Rig? Niuna idea...?
La mia idea è sempre quella che ti ho già detto: mi sembra che la generica derivata parziale sia sempre del tipo
\[
\begin{cases}
R(x,y) f(x,y), & xy\neq 0,\\
0, & xy = 0,
\end{cases}
\]
con \(R\) funzione razionale definita per \(xy\neq 0\).
Di conseguenza, è vero che queste derivate parziali non sono continue nell'origine, però esistono tutte.
\[
\begin{cases}
R(x,y) f(x,y), & xy\neq 0,\\
0, & xy = 0,
\end{cases}
\]
con \(R\) funzione razionale definita per \(xy\neq 0\).
Di conseguenza, è vero che queste derivate parziali non sono continue nell'origine, però esistono tutte.
Ok, adesso ho capito. In effetti non c'era alcun motivo di credere che le derivate parziali dovessero essere continue nell'origine...
Grazie!
Grazie!
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