[Ex]Una somma "elementare"?

[theras]

E' nota,dalla Teoria sulle serie di potenze,la validità della Proposizione,conosciuta col nome di Teorema di Abel,
espressa dal seguente Teorema:
${b_n}_(n in NN)$ $t.c.$ $sum_(n=0)^(+oo)b_n$ è convergente $rArrEElim_(x to 1^-)f(x)=sum_(n=0)^(+oo)b_n$
(dove $f(x)=sum_(n=0)^(+oo)b_nx^n:(-1,1) to RR$ è la somma della serie di potenze di coefficiente generale $b_n$,
ristretta per comodità all'intervallo $(-1,1)$ nel quale essa è certamente ben definita in forza del confronto,$AA x in (-1,1)$,con la serie geometrica di ragione $|x|$ che,definitivamente,maggiora il termine generale della $sum_(n=0)^(+oo)|b_n||x|^n$).
Da essa importiamo subito come,
ricordato il noto sviluppo in serie di Taylor della restrizione a $(-1,1)$ di $h(x)=log(1+x):(-1,+oo) to RR$,
si abbia $log2=(lim_(x to 1^-)log(1+x)=)sum_(n=0)^(+oo)((-1)^n)/(n+1)$(*):
ma se io fossi uno studente del I°anno alle prese con Analisi I,
con "pochi" mezzi e tanto entusiasmo,buona volontà ed arguzia,come potrei dimostrare la (*) ?
Invito,se possibile per almeno quarantotto ore,i grossi calibri del Forum a dare solo consigli molto velati:
secondo me,nel frattempo,potrebbero saltare fuori cose interessanti dai novizi dell'Analisi .
Saluti dal web.

[Zero87]

"theras":con "pochi" mezzi e tanto entusiasmo,buona volontà ed arguzia,come potrei dimostrare la (*) ?
Invito,se possibile per almeno quarantotto ore,i grossi calibri del Forum a dare solo consigli molto velati

Se con "grossi calibri" intendi in generale chi è laureato, allora mi ritengo appartenente a questa categoria, ma se si tratta di conoscenze io sono piuttosto piccolo come calibro: lo dimostra il fatto che sto facendo tante figure ineleganti nel thread di gugo82 sulle stime asintotiche (anche se a mia scusante posso dire che non mi sono mai state chissà quanto simpatiche ).

Comunque mi astengo - anche perché non ho idea (per ora!) di come dimostrarla con l'analisi I - ma rispondo per salutarti dato che era da un po' che non ti vedevo al forum.

[theras]

Vero,James,mea culpa:
ma non sentirti dimenticato,che è solo questione d'eccesso d'impegni da riequilibrare e non mi dimentico certo di te,né di nessuno dei "grossi calibri"
(che per inciso intendo essere i tanti che hanno dato spunti,più o meno completi,di approfondimento didattico agli utenti di questo Forum,da Gugo,Rigel e Dissonance passando per te,Noise,Plepp,Delirium,Ciromario ed altri che di certo stò ingiustamente tralasciando)
o degli altri fruitori di questo strumento eccelente!
Per farmi "perdonare" ti fornisco uno spunto che ritengo coerente con lo spirito dell'esercizio:
vedi se riesci a scrivere l'estratta di posto pari della successione delle somme parziali della (*) in funzione della somma dei reciproci dei primi $n$ numeri naturali(e/o di estratte di quest'ultima..) .
Saluti dal web.

[caos81]

Cioè vuoi trovare il valore esatto della serie armonica a segni alterni usando solo strumenti di Analisi I?
MA E' FACILISSIMO!

Allora, si considera la serie geometrica a segni alterni
$$
1-x+x^2-x^3+x^4-\dots=\frac{1}{1+x}
$$
Integrando termine a termine ottieni
$$
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t}\,{\rm d}t}=\ln(1+x)
$$
e facendo il limite per $x\rightarrow 1^{-}$ ottieni il risultato
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots=\ln(1+1)=\ln(2)\,.
$$
C.V.D.

[Zero87]

Vedendo che avevi risposto tu, pensavo dicessi che quella era $\eta(1)$.

Comunque ci avevo pensato anch'io anche se non avevo risposto perché theras aveva detto di far provare i ragazzi alle prese con analisi 1. Poi non mi convinceva molto perché stavo studiando qualcosa sull'hint di theras. Inoltre quel modo ha comunque il sapore di "sviluppo di Taylor" anche perché l'integrazione termine a termine di una serie infinita sai che puoi farla... dall'analisi II. (no?)

Ho visto che hai spoilerizzato.

[caos81]

"Zero87":Inoltre quel modo ha comunque il sapore di "sviluppo di Taylor" anche perché l'integrazione termine a termine di una serie infinita sai che puoi farla... dall'analisi II. (no?)

Davvero? boh?...io le serie di Taylor le ho fatte al Liceo Scientifico al 5 anno. Si possono ricavare semplicemente col Teorema di Rolle, o anche integrando per parti (quelle relative a funzioni "elementari", ovviamente)
Una serie analitica può sempre pensarsi come
$$
\sum_{k=k_0}^{\infty}{a_k}=\lim_{K\rightarrow\infty}\sum_{k=k_0}^{K}{a_k}
$$
(OVVIAMENTE si intende SEMPRE $k_0\geq0$, almeno nel nostro caso)

"Zero87":
PS: potresti spoilerizzarla in modo che se qualcuno di questi vuole provare comunque la soluzione non la vede?

Fatto

[Paolo902]

"caos81":
Davvero? boh?...io le serie di Taylor le ho fatte al Liceo Scientifico al 5 anno. Si possono ricavare semplicemente col Teorema di Rolle, o anche integrando per parti (quelle relative a funzioni "elementari", ovviamente)
Una serie analitica può sempre pensarsi come
$$
\sum_{k=k_0}^{\infty}{a_k}=\lim_{K\rightarrow\infty}\sum_{k=k_0}^{K}{a_k}
$$
(OVVIAMENTE si intende SEMPRE $k_0\geq0$, almeno nel nostro caso)

Sorprendente. Sarei curioso di vedere come "le serie di Taylor" (e teoremi tipo integrazione termine a termine) discendano dal Teorema di Rolle; ah, sarebbe bello poi di sapere che cos'è una "serie analitica" e chi sono quei misteriosi $a_k$...

Francamente, non penso che fosse il genere di risposta che si aspettasse theras; al netto, secondo me, non cambia proprio niente tra usare Abel o teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

[gugo82]

"caos81":Cioè vuoi trovare il valore esatto della serie armonica a segni alterni usando solo strumenti di Analisi I?
MA E' FACILISSIMO!

Allora, si considera la serie geometrica a segni alterni
$$
1-x+x^2-x^3+x^4-\dots=\frac{1}{1+x}
$$
Integrando termine a termine ottieni
$$
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\dots=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t}\,{\rm d}t}=\ln(1+x)
$$
e facendo il limite per $x\rightarrow 1^{-}$ ottieni il risultato
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots=\ln(1+1)=\ln(2)\,.
$$
C.V.D.

FACILISSIMO?!? Mica tanto... Il diavolo, infatti, sta nei $+\cdots$.

In altre parole, da studente di Analisi I, come fai ad essere tanto sicuro del fatto che la convergenza di una serie ti consenta di scambiare l'ordine della somma e dell'integrale, cioé:
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ x^n \text{ converge} \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=0}^\infty \left( \int_0^x (-1)^n\ t^n\right)\ \text{d} t = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ \int_0^x t^n\ \text{d}t\; ?
\]

Sperandoo di non essere troppo esplicito...

Suggerimento (s)velato:
$1$
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow";path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
text([1,0],"1", below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above);[/asvg]
$(1)-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow";path([[1,0],[1.5,0],[1.5,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.5,0],[2,0],[2,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
path([[1,0],[1.5,0],[1.5,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.5,0],[2,0],[2,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]);
text([1,0],"1", below); text([1.5,0],"3/2", below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above); text([2,0.666],"2/3",right);[/asvg]
\(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\)
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[1,0],[1.25,0],[1.25,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.25,0],[1.5,0],[1.5,0.8],[1.25,0.8],[1.25,0]]);
path([[1.5,0],[1.75,0],[1.75,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]); path([[1.75,0],[2,0],[2,0.571],[1.75,0.571],[1.75,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
path([[1,0],[1.25,0],[1.25,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.25,0],[1.5,0],[1.5,0.8],[1.25,0.8],[1.25,0]]);
path([[1.5,0],[1.75,0],[1.75,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]); path([[1.75,0],[2,0],[2,0.571],[1.75,0.571],[1.75,0]]);
line([1.75,0.666],[2,0.666]); line([1.5,0.8],[1.5,1]);
text([1,0],"1", below); text([1.25,0],"5/4",below); text([1.5,0],"3/2", below); text([1.75,0],"7/4",below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above); text([2,0.666],"2/3",right); text([2,0.571],"4/7",right); text([2,0.8],"4/5",right);[/asvg]
\(\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right) - \frac{1}{8}+\frac{1}{9}- \frac{1}{10}+\frac{1}{11}- \frac{1}{12}+\frac{1}{13}- \frac{1}{14}+\frac{1}{15}\)...

[totissimus]

Piccolo suggerimento

Utilizare l'identità
$\frac{1}{1+x}=1-x+\ldots(-1)^{n}x^{n}+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}$

e integrare ambo i membri tra $0,1$ e poi.......

[theras]

O.k. ragazzi,a questo punto espongo il punto che ritengo centrale della mia idea:
detta,$AA n in NN$,$H_n$ la somma dei reciproci dei primi $n$ numeri naturali
(o,equivalentemente,il termine generale della successione delle somme parziali della serie armonica)
ed $S_n$ il termine generale della successione delle somme parziali relative alla serie numerica presente nella (*) del messaggio originario del thread,
provare che $S_(2n)=(H_(2n)-H_n=)[H_(2n)-"log"(2n+2)]-[H_n-"log"(n+1)]+"log"2$ $AA n in NN$ e,osservato come $H_n-"log"(n+1)$ sia il termine generale della successione dele somme parziali associata alla serie numerica(a termini di segno positivo?)$sum_(n=1)^(+oo) [1/n-"log(1+1/n)]$,
trarre(e giustificare)le dovute conclusioni,ai nostri fini,dal carattere di quest'ultima
(che per inciso è quella che introduce la cosidetta costante di Eulero-Mascheroni)..
Saluti dal web.

[gugo82]

@ theras: Simpatica l'idea della scomposizione in funzione dei numeri armonici...

Che te ne pare del mio suggerimento?

[Sk_Anonymous]

Una cosa carina e affine che se ne può dedurre è la seguente: \[\sum_{n=2}^{\infty}\log \left( \frac{n^2 -1}{n^2} \right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\log(2)\]

[caos81]

"Paolo90":Sorprendente. Sarei curioso di vedere come "le serie di Taylor" (e teoremi tipo integrazione termine a termine) discendano dal Teorema di Rolle;

Bè, in effetti intendevo il Teorema di Lagrange non di Rolle, errore mio.

"Paolo90":ah, sarebbe bello poi di sapere che cos'è una "serie analitica" e chi sono quei misteriosi $a_k$...

Una serie analitica è una serie in cui ciascuno dei termini è integrabile (in tal caso, secondo Riemann).

Bè è ovvio che è necessaria la conoscenza dei Teoremi sugli Integrali (ma perchè, non è robba da Analisi I?)

[theras]

@Gugo.
Purtroppo non riesco in alcun modo a visualizzare il grafico,e me ne dispiaccio perchè,se ti conosco un po',
conterrà di certo qualche chicca "impensabile":
tipo quella dei numeri armonici,che m'hai permesso di conoscere esplicitamente ed è un vera leccornia .
@Paolo.
Avevi capito subito lo spirito dell'esercizio:
chissà perché la cosa non mi sorprende .
@Toti.
A mio modo di vedere la tua strada è pienamente e(come spesso ti accade)elegantemente "analisiunoica":
stavo perseguendo un'idea simile,all'inizio del problema che mi son posto,ma poi son stato folgorato da quelli che il Signor G. m'ha fatto scoprire chiamarsi numeri armonici.
@Del.
Interessante il rilancio:
aspettiamo risposte eventuali,e nel caso argomentiamo?
@Caos.
Le s.d.p. e gli importanti teoremi ad esse relativi sono,almeno nella mia memoria,
uno dei capitoli iniziali del programma di Analisi II:
forse ho sbagliato a non dire esplicitamente che volevo sondare strade del tutto alternative al loro uso.
@James.
La smetti coi festeggiamenti del Mercoledì di coppa,e torni tra noi ?
Saluti dal web.

[gugo82]

"theras":@Gugo.
Purtroppo non riesco in alcun modo a visualizzare il grafico,e me ne dispiaccio perchè, se ti conosco un po', conterrà di certo qualche chicca "impensabile": tipo quella dei numeri armonici, che m'hai permesso di conoscere esplicitamente ed è un vera leccornia .

"gugo82":Sperando di non essere troppo esplicito...

Suggerimento (s)velato:
$ 1 $
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow";path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
text([1,0],"1", below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above);[/asvg]
$ (1)-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} $
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow";path([[1,0],[1.5,0],[1.5,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.5,0],[2,0],[2,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
path([[1,0],[1.5,0],[1.5,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.5,0],[2,0],[2,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]);
text([1,0],"1", below); text([1.5,0],"3/2", below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above); text([2,0.666],"2/3",right);[/asvg]
\( \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7} \)
[asvg]xmin=0.75;xmax=2.25; ymin=-0.25;ymax=1.25;
noaxes();
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[1,0],[1.25,0],[1.25,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.25,0],[1.5,0],[1.5,0.8],[1.25,0.8],[1.25,0]]);
path([[1.5,0],[1.75,0],[1.75,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]); path([[1.75,0],[2,0],[2,0.571],[1.75,0.571],[1.75,0]]);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2; plot("1/x",1,2);
strokewidth=1; stroke="black"; path([[1,0],[2,0],[2,1],[1,1],[1,0]]);
path([[1,0],[1.25,0],[1.25,1],[1,1],[1,0]]); path([[1.25,0],[1.5,0],[1.5,0.8],[1.25,0.8],[1.25,0]]);
path([[1.5,0],[1.75,0],[1.75,0.666],[1.5,0.666],[1.5,0]]); path([[1.75,0],[2,0],[2,0.571],[1.75,0.571],[1.75,0]]);
line([1.75,0.666],[2,0.666]); line([1.5,0.8],[1.5,1]);
text([1,0],"1", below); text([1.25,0],"5/4",below); text([1.5,0],"3/2", below); text([1.75,0],"7/4",below); text([2,0],"2", below); text([2,1],"1",above); text([2,0.666],"2/3",right); text([2,0.571],"4/7",right); text([2,0.8],"4/5",right);[/asvg]
\( \left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right) - \frac{1}{8}+\frac{1}{9}- \frac{1}{10}+\frac{1}{11}- \frac{1}{12}+\frac{1}{13}- \frac{1}{14}+\frac{1}{15} \)...

Ti spoilerizzo la soluzione... Appena potrai vedere la figura, capirai che cosa succede.

Sia \(R_0=R_{0,0}:=[1,2]\times [0,1]\) (il doppio indice si chiarirà in seguito).
Evidentemente \(a_0:=\operatorname{area}(R_0)=1\).

Seguiamo il procedimento iterativo descritto appresso.

Passo 1. Dividiamo il rettangolo \(R_{0,0}\) in due rettangoli uguali \(R_{0,0}^s \) ed \(R_{0,0}^d\) tagliandolo in vetricale; poniamo \(R_{1,0}=R_{0,0}^s\) e rimpiazziamo il rettangolo destro \(R_{0,0}^d=[3/2,2]\times [0,1]\) con il rettangolo più piccolo \(R_{1,1}=[3/2,2]\times [0,2/3]\); posto:
\[
R_1=R_{1,0}\cup R_{1,1}
\]
si ha per costruzione:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(R_1) &= \operatorname{area}(R_0) - \operatorname{area}(R_{0,0}^d) + \operatorname{area}(R_{1,1}) \\
&= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\; .
\end{split}
\]

Passo 2. Dividiamo rettangoli \(R_{1,0}\) ed \(R_{1,1}\) in due metà tagliandoli in verticale; poniamo:
\[
R_{2,0}:=R_{1,0}^s \qquad \text{e} \qquad R_{2,2}:= R_{1,1}^s
\]
e sostituiamo i due rettangolini destri \(R_{1,0}^d=[5/4,3/2]\times [0,1]\) e \((R_{1,1}^d=[7/4,2]\times [0,2/3]\) con i rettangolini più piccoli:
\[
R_{2,1}:= [5/4,3/2]\times [0,4/5]\qquad \text{e}\qquad R_{2,3}:=[7/4,2]\times [0,4/7]\; ;
\]
posto:
\[
R_2 = \bigcup_{k=0}^3 R_{2,k}
\]
si ha per costruzione:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} (R_2) &= \operatorname{area} (R_1) - \operatorname{area} (R_{1,0}^d) - \operatorname{area} (R_{1,1}^d) + \operatorname{area} (R_{2,1}) + \operatorname{area} (R_{2,1}) \\
&= \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}\\
&= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7}\; .
\end{split}
\]

Passo 3. Dividiamo rettangoli \(R_{2,0}\), \(R_{2,1}\), \(R_{2,2}\) ed \(R_{2,3}\) in due metà tagliandoli in verticale; poniamo:
\[
R_{3,0}:=R_{2,0}^s,\ R_{3,2}:=R_{2,1}^s,\ R_{3,4}:=R_{2,2}^s\ \text{e}\ R_{3,6}:= R_{2,3}^s
\]
e sostituiamo i quattro rettangolini destri \(R_{2,0}^d=[9/8,5/4]\times[0,1]\), \(R_{2,1}^d =[11/8,3/2]\times[0,4/5]\), \(R_{2,2}^d = [13/8,7/4]\times[0,2/3]\) ed \(R_{2,3}^d=[15/8,2]\times[0,4/7]\) con i rettangolini più piccoli:
\[
R_{3,1}:= [9/8,5/4]\times[0,8/9],\ R_{3,3} := [11/8,3/2]\times[0,8/11],\ R_{3,5} := [13/8,7/4]\times[0,8/13]\ \text{ed}\ R_{3,7} :=[15/8,2]\times[0,8/12]\; ;
\]
posto:
\[
R_3 = \bigcup_{k=0}^7 R_{3,k}
\]
si ha per costruzione:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} (R_3) &= \operatorname{area} (R_2) - \operatorname{area} (R_{2,0}^d) - \operatorname{area} (R_{2,1}^d) - \operatorname{area} (R_{2,2}^d) - \operatorname{area} (R_{2,3}^d) + \operatorname{area} (R_{3,1}) + \operatorname{area} (R_{3,3}) + + \operatorname{area} (R_{3,5}) + \operatorname{area} (R_{3,7})\\
&= \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} - \frac{1}{14} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} \\
&= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \frac{1}{13} - \frac{1}{14} + \frac{1}{15}\; .
\end{split}
\]

In generale, immaginando di aver gia effettuato \(N\) passi, procediamo col...
Passo \(N+1\). Dividiamo i \(2^N\) rettangolini che costituiscono \(R_N\) tutti in due metà dividendoli in verticale; i rettangolini sinistri \(R_{N,0}^s,R_{N,1}^s,\ldots , R_{N,2^N-1}^s\) li manteniamo rinominandoli, nell'ordine, \(R_{N+1,0},R_{N+1,2},\ldots , R_{N+1,2^{N+1}-2}\) e sostituiamo i rettangolini destri \(R_{N,0}^d,R_{N,1}^d,\ldots , R_{N,2^N-1}^d\) con dei rettangolini più piccoli \(R_{N+1,1},R_{N+1,3},\ldots , R_{N+1,2^{N+1}-1}\) in modo che:
\[
R_{N+1,k} = \left[ \frac{2^{N+1} + k}{2^{N+1}}, \frac{2^{N+1} + k+1}{2^{N+1}} \right]\times \left[ 0, \frac{2^{N+1}}{2^{N+1} + k}\right]
\]
per \(k=1,3,5,\ldots ,2^{N+1}-1\); in tal modo:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(R_{N+1}) &= \operatorname{area}(R_N) - \sum_{k=0}^{2^N-1} \operatorname{area} (R_{2,k}^d) + \sum_{k=1,3,\ldots , 2^{N+1}-1} \operatorname{area} (R_{N+1,k})\\
&= \left(\sum_{n=1}^{2^N-1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\right) - \sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1} \frac{1}{2k} + \sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1} \frac{1}{2k+1}\\
&= \sum_{n=1}^{2^{N+1}-1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\; .
\end{split}
\]

Mediante il procedimento ricorrente descritto sopra, riusciamo ad ottenere una successione di plurirettangoli \(R_N\) i quali hanno:
\[
\operatorname{area}(R_N) = \sum_{n=1}^{2^N-1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\; .
\]
Per costruzione, i plurirettangoli così costruiti non sono altro che i plurirettangoli circoscritti al grafico della funzione \(f(x):=1/x\) subordinati alla partizione \(D_N\) dell'intervallo \([1,2]\) definita da:
\[
D_N := \left\{ 1=\frac{2^N}{2^N}<\frac{2^N+1}{2^N}<\frac{2^N+2}{2}<\ldots < \frac{2^N+2^{N}-2}{2^N}< \frac{2^N+2^{N}-1}{2^N}<\frac{2^N+2^N}{2^N}=2\right\}\; ;
\]
dato che \(f\) è strettamente decrescente, l'area di \(R_N\) è la somma di Riemann superiore della funzione \(f\) determinata dalla decomposizione \(D_N\), i.e.:
\[
\operatorname{area} (R_N) = S(f;D_N) = \sum_{k=0}^{2^N-1} f\left( \frac{2^N+k}{2^N}\right)\ \frac{1}{2^N}\; .
\]
Per noti fatti di teoria dell'integrazione, si ha:
\[
\lim_N S(f;D_N) = \int_1^2 f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} &= \lim_N \sum_{n=1}^{2^N-1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \\
&= \int_1^2 \frac{1}{x}\ \text{d} x\\
&= \ln x\Big|_1^2\\
&= \ln 2\; ,
\end{split}
\]
come volevamo.

[theras]

Grazie per l'occasione di crescita,Gugo,e per una volta permettimi d'esser banale e congratularmi:
un conto è tentare d'usare l'idea di fondo,tanto cara a quell'altro grande di Rigel,
di ricondursi ad una somma integrale à la Riemann,
un altro è farlo con la visuale,che tra l'altro mi pare potenzialmente efficacissima dal punto di vista didattico
(tanto che io,pur non brillando certo per sveltezza in queste cose,
son riuscito a ricostruire i grafici,che continuo a non vedere,da conti e spiegazione ),
da te illustrata
(che appena potrò proverò a riadattare a quel nostro problema,d'un passato alquanto prossimo,d'una via grafica per trovare la somma della serie geometrica di ragione $1/2$)!
Saluti dal web.