$e^xsin(1/x)>x^2$
Ciao, amici!
Dovrei riuscire a dimostrare che per valori "grandi" di $x$ si ha che $1/(e^xsin(1/x))<1/x^2$, cioè che
$EE M:x>M => 1/(e^x sin(1/x))<1/x^2$
Basta quindi dimostrare che $EE M>0:x>M => e^xsin(1/x)>x^2$, cosa che ho provoato a fare cercando di azzeccare un positivo di $e^xsin(1/x) - x^2$ e calcolandone la derivata, riprovando in modo analogo con altre funzioni che mi potessero portare a qualche risultato utile, ma mi trovo sempre con disuguaglianze conteneti scomode funzioni trigonometriche di $1/x$...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi qualche spunto?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Dovrei riuscire a dimostrare che per valori "grandi" di $x$ si ha che $1/(e^xsin(1/x))<1/x^2$, cioè che
$EE M:x>M => 1/(e^x sin(1/x))<1/x^2$
Basta quindi dimostrare che $EE M>0:x>M => e^xsin(1/x)>x^2$, cosa che ho provoato a fare cercando di azzeccare un positivo di $e^xsin(1/x) - x^2$ e calcolandone la derivata, riprovando in modo analogo con altre funzioni che mi potessero portare a qualche risultato utile, ma mi trovo sempre con disuguaglianze conteneti scomode funzioni trigonometriche di $1/x$...
Qualcuno sarebbe così gentile da darmi qualche spunto?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
Non so se rispondo alla tua domanda, però io moltiplicherei per $x^2$ ottenendo $(x^2)/(e^x sin(1/x))<1$
Quindi $sin (1/x)=1/x+o(1/x)$
e rimane $(x^3)/(e^x)<1$
Quindi $sin (1/x)=1/x+o(1/x)$
e rimane $(x^3)/(e^x)<1$
Grazie di cuore, Quinzio!
Non capisco però come da $(x^2)/(e^x sin(1/x))<1$ si ottiene $x/(e^x)<1$...
A me risulterebbe, per $x->+oo$ e $sint=t+o(t^2)=t+o(t)$ con $t=t(x)=1/x->0$, che
$(x^2)/(e^x sin(1/x))= (x^2)/(e^x (1/x+o(1/x)))= x^2/(e^x/x+e^xo(1/x))$ con questa forma indeterminata $e^xo(1/x),x->+oo$ al denominatore, davanti a cui mi blocco...
Grazie $->+oo$ ancora!
Non capisco però come da $(x^2)/(e^x sin(1/x))<1$ si ottiene $x/(e^x)<1$...
A me risulterebbe, per $x->+oo$ e $sint=t+o(t^2)=t+o(t)$ con $t=t(x)=1/x->0$, che
$(x^2)/(e^x sin(1/x))= (x^2)/(e^x (1/x+o(1/x)))= x^2/(e^x/x+e^xo(1/x))$ con questa forma indeterminata $e^xo(1/x),x->+oo$ al denominatore, davanti a cui mi blocco...
Grazie $->+oo$ ancora!
Capisco la tua incertezza, però devi pensare che per x "grandi" $sin(1/x) \sim 1/x$.
Chiaramente non sono proprio uguali, però la formula ti dice che il resto può essere reso piccolo piacere.
Per cui siamo autorizzati a pensare che $sin(1/x) = 1/x$ e quindi svolgiamo il limite.
Io questi passaggi li uso comunque sempre con cautela, cercando di "capire" (se la formula non è troppo complicata), se posso davvero approssimare il $sin (1/x)$
Chiaramente non sono proprio uguali, però la formula ti dice che il resto può essere reso piccolo piacere.
Per cui siamo autorizzati a pensare che $sin(1/x) = 1/x$ e quindi svolgiamo il limite.
Io questi passaggi li uso comunque sempre con cautela, cercando di "capire" (se la formula non è troppo complicata), se posso davvero approssimare il $sin (1/x)$
Adesso ci sono:
$lim_(x->+oo) (x^2)/(e^x sin(1/x))= lim_(x->+oo) (x^2)/(e^x (1/x+o(1/x))) =lim_(x->+oo) x^3/e^x=lim_(x->+oo) 6/e^x=0$
per cui $AA \epsilon>0 EEM>0:x>M => (x^2)/(e^x sin(1/x))<\epsilon$ in particolare per $\epsilon<=1$.
Ancora grazie!!!!!!
$lim_(x->+oo) (x^2)/(e^x sin(1/x))= lim_(x->+oo) (x^2)/(e^x (1/x+o(1/x))) =lim_(x->+oo) x^3/e^x=lim_(x->+oo) 6/e^x=0$
per cui $AA \epsilon>0 EEM>0:x>M => (x^2)/(e^x sin(1/x))<\epsilon$ in particolare per $\epsilon<=1$.
Ancora grazie!!!!!!
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