[EX]:famiglia di "limitacci"

[theras]

Si determini,al variare del parametro $alpha$ in $RR$,il comportamento del seguente limite
$"lim"_("x"to"0"^"+")(int_"0"^"x"("arctgt")/("x+t"^"2")dt)/("x"^alpha)$ :
possiedo una mia soluzione,ma desidererei confrontarla con eventuali altre.
Saluti dal web.

[bosmer-votailprof]

Beh il numeratore è derivabile, e il suo limite tende a zero, idem il denominatore...
Secondo me la strada più semplice è applicare De l'Hopital... col quale ottieni che il limite è nullo per $\alpha<1$ è più infinito per $\alpha>1$ ed è pari ad $1$ per $\alpha=1$

[wanderer1]

ciao,
partiamo col dire che:

$ d/dx( \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{x + t^2}dt ) = \frac{arctan x}{x + x^2} - \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{(x+t^2)^2}$

quindi De L'Hopital onestamente non mi sembra la via più semplice per procedere ( anche perché come fai a capire che il numeratore è derivabile e tende a $0$? ).
Io userei la stima asintotica, per $x -> 0$: \(arctan x \sim x\), e quindi

$lim_{x -> 0^+} {\int_{0}^{x} {arctan t}/{x+ t^2} dt}/{x^\alpha} = lim_{x -> 0^+} {\int_{0}^{x} {t}/{x+ t^2} dt}/{x^\alpha} = lim_{x -> 0^+} {ln(1+x)}/{2 x^\alpha}$

da qui si giunge al risultato di Bossmer (tranne per il fatto che il limite con $\alpha = 1$, tende a $1/2$)

spero di non aver scritto corbellerie

[anto_zoolander]

"wanderer":
$ d/dx( \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{x + t^2}dt ) = \frac{arctan x}{x + x^2} - \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{(x+t^2)^2} $

wanderer, stavo cercando qualcosa in merito su internet, mi spieghi dove posso trovare questa regola di derivazione della funzione integrale? Dal teorema fondamentale del calcolo, non ho mai avuto informazioni nel caso in cui ci fosse l'estremo di integrazione variabile dentro l'integranda

[wanderer1]

ho applicato la definizione di derivata

[bosmer-votailprof]

"wanderer":ciao,
partiamo col dire che:

$ d/dx( \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{x + t^2}dt ) = \frac{arctan x}{x + x^2} - \int_{0}^{x} \frac{arctan t}{(x+t^2)^2}$

Parliamone, nel senso che per il teorema di derivazione della funzione composta e per il teorema fondamentale del calcolo integrale quello che dimostri è che:
$$
\frac{d}{dx}\left(\int_{f(x)}^{g(x)}h(t)dt\right)=h(g(x))*g'(x)-h(f(x))*f'(x)
$$
ovviamente, se valgono tutte le ipotesi di derivabilità eccetera...
Quindi non capisco come sei arrivato a quel risultato, visto che $g(x)=x$ quindi $g'(x)=1$ mentre $f(x)=0$ quindi $f'(x)=0$ , per cui viene che
$$
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x}h(t)dt\right)\approx\frac{arctan x}{x + x^2}-0*0
$$
dove al massimo mi si può questionare che $h(0)$ non è definita, tuttavia tende con continuità a zero quindi il fatto che effettivamente non sia definita diventa irrilevante ai fini dell'esercizio...

Poi che il numeratore tende a zero è palese a mio avviso per il teorema fondamentale del calcolo visto che :
$$
\int_0^xh(t)dt=H(x)-H(0)
$$
allora, se la primitiva è continua( e se $h$ è integrabile si dimostra che la funzione integrale è continua) allora $H(x)\to H(0)$ quindi la loro differenza tende a zero...

In ogni caso entrambi approssimiamo l'arcotangente tu lo fai prima di integrare io lo faccio dopo un derivazione... Io non vedo errori concettuali in nessuno dei due ragionamenti, e l'unica discrepanza è per $\alpha=1$...

[anto_zoolander]

secondo me dovreste leggere questo

l'integranda è una funzione in due variabili.

Inoltre:

se $f(t)$ è continua in un certo intervallo $[a,b]$, allora la funzione integrale $int_(a)^(x)f(t)dt,x in[a,b]$ è differenziabile in tutti i punti in cui $f$ è continua.

[theras]

Beh,innanzitutto una mia considerazione personale:
la strada dell'integrazione parametrica l'avevo percorsa inizialmente pure io,nei termini suggeriti da Anto_zoolander,ma non m'ha portato in lande ospitali.
Inoltre la conclusione di wanderer è corretta,ma non m'esalta dal punto di vista formale quanto scrive(direi altresì che basta articolare il suo discorso in modo più approfondito):
io ero semplicemente partito dalla nota stima (*)$("t")/("1+t"^"2")le"arctgt"le"t "forall "t"in RR"$(dimostrabile col Teorema della media integrale o tramite lo studio di funzioni ausiliarie),per poi ricondurmi pian piano al buon sano vecchio Teorema dei due carabinieri.
Saluti dal web.
P.S.Ve n'è almeno una in alternativa ad essa che può essere utilizzate allo scopo,intuibile dall'espressione in serie di potenze della $"h(t)=arctgt:"RR to RR$..

[wanderer1]

"theras":Inoltre la conclusione di wanderer è corretta,ma non m'esalta dal punto di vista formale quanto scrive(direi altresì che basta articolare il suo discorso in modo più approfondito):
io ero semplicemente partito dalla nota stima (*)$("t")/("1+t"^"2")le"arctgt"le"t "forall "t"in RR"$(dimostrabile col Teorema della media integrale o tramite lo studio di funzioni ausiliarie),per poi ricondurmi pian piano al buon sano vecchio Teorema dei due carabinieri.

Ti capisco
comunque hai ragione! Usando il teorema dei carabinieri si può procedere alla risoluzione con De l'Hopital ( in modo molto più pulito e in accordo con lo scopo dell'esercizio ), dimostrando che il primo integrale tende a $0$, e che il secondo (quello presente nella derivata del primo) tende a $1/2$.