[EX]Analisi II, formula di Gauss-Green
l'esercizio mi propone un dominio di cui mi da il bordo. devo calcolare l'integrale di una funzione in quel dominio. e devo utilizzare appunto la formula di Gauss Green
allora ho che (uso il simbolo di unione indicando che il bordo è delimitato da una superficie e dall'altra)
$\Omega = \{(x=v),(y= cos t),(z = 2 sin t):}$ $(t,v) in [-pi, pi]xx[0,2] nn x=0 nn x=2$ e questo è il bordo del mio dominio, che è circa un cilindro
e la funzione che devo integrare è $\phi = sin y$
io so che la formula di Gauss-Green dice che
$\int_D grad * F dxdydz = \int_(\partial D)F * \nu d\sigma$ intendendo con $\partial D$ il bordo del dominio di D, $\nu$ il versore normale giusto e $d\sigma$ l'infinitesimo di superficie
nel mio caso devo fare quindi due integrali per le due "basi" del cilindro, perchè le superfici chiuse non non hanno bordo.
come prima cosa mi sono trovato una funzione di cui $sin y$ sia il gradiente, per esempio $F=(xsiny,0,0)$
solo che ora non so come procedere...
se mi potete dare dei suggerimenti sul come procedere ne sarei lieto
allora ho che (uso il simbolo di unione indicando che il bordo è delimitato da una superficie e dall'altra)
$\Omega = \{(x=v),(y= cos t),(z = 2 sin t):}$ $(t,v) in [-pi, pi]xx[0,2] nn x=0 nn x=2$ e questo è il bordo del mio dominio, che è circa un cilindro
e la funzione che devo integrare è $\phi = sin y$
io so che la formula di Gauss-Green dice che
$\int_D grad * F dxdydz = \int_(\partial D)F * \nu d\sigma$ intendendo con $\partial D$ il bordo del dominio di D, $\nu$ il versore normale giusto e $d\sigma$ l'infinitesimo di superficie
nel mio caso devo fare quindi due integrali per le due "basi" del cilindro, perchè le superfici chiuse non non hanno bordo.
come prima cosa mi sono trovato una funzione di cui $sin y$ sia il gradiente, per esempio $F=(xsiny,0,0)$
solo che ora non so come procedere...
se mi potete dare dei suggerimenti sul come procedere ne sarei lieto
Risposte
Ma tu devi calcolare cosa? Perché da quello che hai scritto, dovresti identificare $\Omega=\partial D$, $\phi=\nabla\cdot F$. Per cui suppongo tu stia cercando di calcolare l'integrale triplo della funzione $\phi$ sul dominio $D$ racchiuso dalla superficie $\Omega$, giusto? Per cui mi pare tu abbia solo da calcolarti le normali uscenti dalle tre superfici (quella laterale del cilindro a base ellittica e quella delle due basi $x=0, x=2$).
P.S.: $\cap$ è il simbolo dell'intersezione. Quello dell'unione è $\cup$
P.S.: $\cap$ è il simbolo dell'intersezione. Quello dell'unione è $\cup$
esattamente come hai detto te. devo calcolarmi quell'integrale triplo. e, si ho detto di usare un simbolo, e ne ho messo un altro. non me ne ero accorto nella rilettura...
comunque quella laterale del cilindro non conta. è una superficie chiusa. contano solo quelle sul piano $x=0$ e $x=2$
comunque, per calcolarmi la normale uscente devo fare
$\phi_u ^^ \phi_t$ inteando col pedice in basso che faccio la derivata parziale rispetto quella variabile, e vedere se con questo prodotto vettoriale ottengo quella giusta...come faccio a vedere che è quella giusta?
comunque quella laterale del cilindro non conta. è una superficie chiusa. contano solo quelle sul piano $x=0$ e $x=2$
comunque, per calcolarmi la normale uscente devo fare
$\phi_u ^^ \phi_t$ inteando col pedice in basso che faccio la derivata parziale rispetto quella variabile, e vedere se con questo prodotto vettoriale ottengo quella giusta...come faccio a vedere che è quella giusta?
Guarda che le due normali alle basi sono molto banali. Prendi ad esempio la base per cui $x=0$: tale base giace sul piano di equazione $x=0$, per cui il versore normale (uscente) da esso è $(-1,0,0)$, non ti pare.
In ogni caso, io direi che la superficie chiusa è costituita da tutte e tre le cose messe insieme: se prendi solo $\Omega$ essa rappresenta la superficie laterale del cilindro ma è priva delle due basi, non credi?
In ogni caso, io direi che la superficie chiusa è costituita da tutte e tre le cose messe insieme: se prendi solo $\Omega$ essa rappresenta la superficie laterale del cilindro ma è priva delle due basi, non credi?
tutti i torti non li hai. il questo caso la normale uscente è scontata....
comunque, si, sono necessari anche i due semipiani, altrimenti mancherebbero i "tappi" del cilindro. solo che l'integrale sua superficie laterale non lo faccio. se comunque nel caso dell'ellisse sul piano x = 0 la normale è $(-1,0,0)$ vuol dire che quell'altra è $(1,0,0)$
a questo punto posso impostare i due integrali, e ne sommo i risultati...ora vedo se torna. grazie tanto. è che analisi 2 mi fa un po schifo, ma tocca farla. grazie ancora
comunque, si, sono necessari anche i due semipiani, altrimenti mancherebbero i "tappi" del cilindro. solo che l'integrale sua superficie laterale non lo faccio. se comunque nel caso dell'ellisse sul piano x = 0 la normale è $(-1,0,0)$ vuol dire che quell'altra è $(1,0,0)$
a questo punto posso impostare i due integrali, e ne sommo i risultati...ora vedo se torna. grazie tanto. è che analisi 2 mi fa un po schifo, ma tocca farla. grazie ancora
Prego... ma non ho capito perché non fai l'integrale sulla superficie laterale.
mi dispiace darti questa motivazione, ma altro non ti so dire
rivedendo il mio quaderno, gli esempi in classe, e rileggendo i miei appunti ho visto che la prof le superfici chiuse non le conta mai, in quanto queste, non hanno bordo.
questa è la spiegazione che ho...a ingegneria non viene fatto un gran corso di analisi 2. vengono solo dati gli strumenti per fare integrali che poi ci serviranno a cose come costruzioni, o altro
rivedendo il mio quaderno, gli esempi in classe, e rileggendo i miei appunti ho visto che la prof le superfici chiuse non le conta mai, in quanto queste, non hanno bordo.
questa è la spiegazione che ho...a ingegneria non viene fatto un gran corso di analisi 2. vengono solo dati gli strumenti per fare integrali che poi ci serviranno a cose come costruzioni, o altro
ovviamente quello che dico può essere una grande cavolata...e mi sa di si 
Ma per "superficie chiusa" tu cosa intendi? Perché mi sa che stai facendo un po' di confusione.
la verità è che non so nemmeno bene io cosa intendo con superficie chiusa...e sto facendo tanta confusione con i concetti...
In questo caso, come puoi convincerti facilmente, se consideri tutto il cilindro (basi complete) questa risulta una superficie chiusa. Se invece consideri solo la superficie laterale, essa presenta, come bordi, le due circonferenze che determinano le basi, per cui chiusa non è. Quello che però puoi dire è questo: se indichiamo tutta la superficie così $\Omega=S\cup B_1\cup B_2$, dove $S$ è la superficie laterale e $B_i,\ i=1,2$ le due basi, allora si ha che
Flusso attraverso $S=-\sum_{i=1}^2$ Flusso attraverso $B_i$
Flusso attraverso $S=-\sum_{i=1}^2$ Flusso attraverso $B_i$
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