[EX] - Una "serie di integrali"
Devo dire se converge o meno la serie
\[\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\]
Non so (e non ho molta voglia di scoprirlo francamente
) se l'integrale sia calcolabile in maniera elementare. Ad ogni modo mi pare si possa fare così. Brevemente, ricordando che $\sin x \le x$ se $x\ge 0$, ho
\[\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\le\sqrt{x},\ \forall x\in ]\, 0,1/n]\implies \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\le \int^{1/n}_0 \sqrt{t} \stackrel{\sum\int^{1/n}_0 \sqrt{t}<+\infty}{\implies}\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}<+\infty\]
Right?
\[\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\]
Non so (e non ho molta voglia di scoprirlo francamente
) se l'integrale sia calcolabile in maniera elementare. Ad ogni modo mi pare si possa fare così. Brevemente, ricordando che $\sin x \le x$ se $x\ge 0$, ho \[\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\le\sqrt{x},\ \forall x\in ]\, 0,1/n]\implies \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\le \int^{1/n}_0 \sqrt{t} \stackrel{\sum\int^{1/n}_0 \sqrt{t}<+\infty}{\implies}\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}<+\infty\]
Right?
Risposte
Osserva anche che la funzione integranda è positiva per \(x\in (0,1)\), dunque la serie è a termini positivi.
In un compito d'esame, per maggiore sicurezza, io calcolerei esplicitamente \(\int_0^{1/n} \sqrt{t}\, dt\) (anziché limitarmi a scrivere che la serie avente quel termine generale converge).
In un compito d'esame, per maggiore sicurezza, io calcolerei esplicitamente \(\int_0^{1/n} \sqrt{t}\, dt\) (anziché limitarmi a scrivere che la serie avente quel termine generale converge).
"Rigel":
In un compito d'esame, per maggiore sicurezza, io calcolerei esplicitamente \(\int_0^{1/n} \sqrt{t}\, dt\) (anziché limitarmi a scrivere che la serie avente quel termine generale converge).
Ovviamente Rigel
Se l'ho scritto è perché ho fatto i conticini a parte 
Ciò di cui volevo conferma, era la validità del modo in cui ho "messo assieme" proprietà di integrali e serie.
Anche così: dato che:
\[
\int_0^{1/n} \frac{\sin (x\sqrt{x})}{x}\ \text{d} x \stackrel{t=x\sqrt{x}}{=} \frac{2}{3}\ \int_0^{1/n^{3/2}} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t
\]
e che:
\[
\left| \int_0^{1/n^{3/2}} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\right| \leq C\ \frac{1}{n^{3/2}}
\]
(con \(C>0\) opportuno), la tua serie è maggiorata in valore assoluto da un multiplo della serie convergente \(\sum 1/n^{3/2}\). Perciò la tua serie converge assolutamente.
\[
\int_0^{1/n} \frac{\sin (x\sqrt{x})}{x}\ \text{d} x \stackrel{t=x\sqrt{x}}{=} \frac{2}{3}\ \int_0^{1/n^{3/2}} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t
\]
e che:
\[
\left| \int_0^{1/n^{3/2}} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\right| \leq C\ \frac{1}{n^{3/2}}
\]
(con \(C>0\) opportuno), la tua serie è maggiorata in valore assoluto da un multiplo della serie convergente \(\sum 1/n^{3/2}\). Perciò la tua serie converge assolutamente.
Scusami Gugo, non capisco il perché di quella disuguaglianza 
EDIT: ah! Si ha
\[\int^{1/n^{3/2}}_0 \dfrac{\sin t}{t}\le \int^{1/n^{3/2}}_0 \dfrac{t}{t}=\int^{1/n^{3/2}}_0 1=\dfrac{1}{n^{3/2}}\]
quindi $C=1$. Dico bene?
EDIT: ah! Si ha
\[\int^{1/n^{3/2}}_0 \dfrac{\sin t}{t}\le \int^{1/n^{3/2}}_0 \dfrac{t}{t}=\int^{1/n^{3/2}}_0 1=\dfrac{1}{n^{3/2}}\]
quindi $C=1$. Dico bene?
Mi ero mantenuto sul qualitativo: infatti, essendo l'integrando continuo intorno a \(0\), esiste una costante \(C>0\) tale che \(|\frac{\sin t}{t}| \leq C\) per \(t\in [0,1]\).
Che poi si abbia \(C=1\) è buono a sapersi, ma il giusto valore della costante non aggiunge troppo valore alla dimostrazione.
***
Esercizio:
Studiare il carattere della serie:
\[
\sum n\ \int_0^{1/n} \frac{\sin^\alpha (x\sqrt{x})}{x}\ \text{d} x
\]
al variare del parametro \(\alpha\) in \(]0,\infty[\).
Che poi si abbia \(C=1\) è buono a sapersi, ma il giusto valore della costante non aggiunge troppo valore alla dimostrazione.
***
Esercizio:
Studiare il carattere della serie:
\[
\sum n\ \int_0^{1/n} \frac{\sin^\alpha (x\sqrt{x})}{x}\ \text{d} x
\]
al variare del parametro \(\alpha\) in \(]0,\infty[\).
"gugo82":
Mi ero mantenuto sul qualitativo: infatti, essendo l'integrando continuo intorno a \( 0 \), esiste una costante \( C>0 \) tale che \( \frac{\sin t}{t} \) per \( t\in [0,1] \).
Giusto, giusto...ottimo
Grazie! [size=85](sì, in effetti il valore di $C$ ha poca - nulla - importanza, ciò che mi lasciava perplesso era la sua esistenza )[/size]
Vengo ad agitare un po' le acque in questo 3d.
Sto sparando quasi a caso, comunque.... non si può derivare il tutto, far passare la derivata prima della sommatoria, quindi la derivata annulla l'integrale e dimostrare che i termini della serie si azzerano con un ordine di infinitesimo sufficiente ?
Altra domanda, più sottile.... sono in presenza di un integrale improprio, in quanto con $t=0$ ho una forma indeterminata.
Questo sarebbe un problema da poco, se non fosse che l'estremo superiore tende proprio a zero e siccome vogliamo avere
$b>a$ con $\int_a^b (sin(t \sqrt t))/(t)dt$, come si giustifica la questione ?
Voglio dire l'unico valore di $a$ posibile è proprio zero, non posso risovere l'integrale e poi far tendere $a->0$,
Ma d'altra parte $a$ non puo' essere zero. E quindi ?
Sto sparando quasi a caso, comunque.... non si può derivare il tutto, far passare la derivata prima della sommatoria, quindi la derivata annulla l'integrale e dimostrare che i termini della serie si azzerano con un ordine di infinitesimo sufficiente ?
Altra domanda, più sottile.... sono in presenza di un integrale improprio, in quanto con $t=0$ ho una forma indeterminata.
Questo sarebbe un problema da poco, se non fosse che l'estremo superiore tende proprio a zero e siccome vogliamo avere
$b>a$ con $\int_a^b (sin(t \sqrt t))/(t)dt$, come si giustifica la questione ?
Voglio dire l'unico valore di $a$ posibile è proprio zero, non posso risovere l'integrale e poi far tendere $a->0$,
Ma d'altra parte $a$ non puo' essere zero. E quindi ?
@ Plepp: Ho aggiornato il post... Credo che troverai modifiche di tuo gusto. 
@ Quinzio: Non ho capito dove vuoi arrivare.
@ Quinzio: Non ho capito dove vuoi arrivare.
"gugo82":
@ Quinzio: Non ho capito dove vuoi arrivare.
Faccio la domanda in un altro modo: è formalmente lecito valutare un integrale improprio quando uno dei due estremi (a) è zero e l'altro (b) si avvicina "a piacere" allo zero (man mano che i termini della sommatoria crescono ?
"gugo82":
@ Plepp: Ho aggiornato il post... Credo che troverai modifiche di tuo gusto.
Esatto
Grazie!Per $\alpha>2/3$ la strategia che ho usato nel primo post va benissimo, mi sembra, per concludere che la serie converge. Per gli altri $alpha$ ora provo a escogitare qualcosa
La tua risoluzione ammetto che ha stile, proprio oggi ci stavo sbattendo la testa senza troppi risultati! , grande!
"Kashaman":
La tua risoluzione ammetto che ha stile, proprio oggi ci stavo sbattendo la testa senza troppi risultati! , grande!
Non ho fatto granché Frà, più che ricordami che $\sin x< x$, il resto vien da sé
[ot]Martedì mattina mandami un messaggio sul presto, ché devo ricordarmi di portarti una cosa
[/ot]
@ Quinzio: Dipende da cosa significa, per te, "valutare".
a me l'esercizio di Gugo risulta convergente per $\alpha>4/3$ ....
"Plepp":
[quote="Kashaman"]La tua risoluzione ammetto che ha stile, proprio oggi ci stavo sbattendo la testa senza troppi risultati! , grande!
Non ho fatto granché Frà, più che ricordami che $\sin x< x$, il resto vien da sé
[ot]Martedì mattina mandami un messaggio sul presto, ché devo ricordarmi di portarti una cosa
[/ot][/quote]Beh è proprio questa la genialità!!
[ot]Sperando che riesco a venire.. da giovedì sono stato in coma nel letto, causa febbre >.<. Sperando che mi passi pe martedì. Sto malanno mi ha inguaiato il piano di studi![/ot]
"gugo82":
Esercizio:
Studiare il carattere della serie:
\[
\sum n\ \int_0^{1/n} \frac{\sin^\alpha (x\sqrt{x})}{x}\ \text{d} x
\]
al variare del parametro \(\alpha\) in \(]0,\infty[\).
Ci provo. Innanzitutto si ha che
\[\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}\sim x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\qquad \text{per}\ x\to 0^+\tag{A}\]
dunque i due integrali
\[\int^{1/n}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}\,\text{d}x\qquad \int^{1/n}_0x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\,\text{d}x\]
divergono o convergono simultaneamente. Il secondo converge (se $3/2 \alpha-1\ge 0$ non c'è manco bisogno di parlare di convergenza) se e solo se
\[\dfrac{3}{2}\alpha-1>-1 \iff \alpha>0\]
Per ogni $\alpha\in (0,+\infty)$ è quindi ben definita la funzione
\[F_\alpha\colon (0,+\infty)\ni s\mapsto s\int^{1/s}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}\,\text{d}x\in\mathbb{R}\]
Controllo che combina $F_\alpha$. Si ha
\[\lim_{s\to +\infty}s\cdot F_\alpha(s)\stackrel{t:=1/s}{=}\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\int^{t}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}}{t}\stackrel{\text{De l'Hopital}}{=} \lim_{t\to 0^+}\dfrac{\sin^\alpha(t\sqrt{t}) }{t}\stackrel{\text{A}}{=}\lim_{t\to 0^+} t^{\frac{3}{2}\alpha-1}\]
Si ha poi
\[\lim_{t\to 0^+} t^{\frac{3}{2}\alpha-1}=\begin{cases}
+\infty &\text{se}\ 0<\alpha< 2/3\\
1 &\text{se}\ \alpha= 2/3\\
0 &\text{se}\ \alpha> 2/3\\
\end{cases}\]
Quindi se $\alpha\ge 2/3$ il termine generale della serie non è infinitesimo, quindi la serie, che è a termini positivi, diverge. Per $\alpha>2/3$ si può fare come prima; fissato $n\in NN^\star$, per ogni $x\in (0,1/n]$ si ha
\[\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}< x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\]
da cui
\[\int^{1/n}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}\,\text{d}x< \int^{1/n}_0x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\,\text{d}x\]
e si prova immediatamente, calcolando esplicitamente l'integrale, che
\[\sum_{n=1}^\infty\int^{1/n}_0x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\,\text{d}x<+\infty\]
da cui si deduce che per $\alpha >2/3$ la serie converge.
EDIT:
per $\alpha>2/3$ ho discusso un'altra serie, maledizione...termino e correggoEDIT 2: ragionando come sopra per $\alpha>2/3$, si trova che la serie converge per $\alpha>4/3$, perché il termine generale è maggiorato da un multiplo di $1/n^{3/2 \alpha-1}$. Rimane qualche altro $\alpha$, ci penso
Aspetta 1 momento.
Non mi convince molto il passaggio con l'Hopital... devi avere una forma indeterminata per poterlo usare (in questo caso 0/0).
Ma tu come puoi provare di avere una forma indeterminata ?
Se la serie converge o meno è quello che stiamo provando a stabilire, quindi non c'è la certezza di.....
Non mi convince molto il passaggio con l'Hopital... devi avere una forma indeterminata per poterlo usare (in questo caso 0/0).
Ma tu come puoi provare di avere una forma indeterminata ?
Se la serie converge o meno è quello che stiamo provando a stabilire, quindi non c'è la certezza di.....
@Quinzio:
Cosa c'entra la serie con il limite, scusa? Ho dimostrato che per ogni $n\in NN^\star$ e per ogni $\alpha>0$ è convergente l'integrale
\[\int^{1/n}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x})}{x}\]
Fissato $\alpha$, ha dunque senso definire la funzione $F_\alpha(s)$ ponendo
\[F_\alpha(s):=\int^{1/s}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x})}{x}\]
Quando verifico che sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza (della serie in questo caso...), devo dimostrare che
\[\lim_{s\to \infty}s\cdot F_\alpha(s)=0\]
Per farlo, cambio variabile e uso De L'Hopital, dal momento che c'è la forma indeterminata e le funzioni in gioco sono derivabili quanto ci pare. Non sei d'accordo?
Cosa c'entra la serie con il limite, scusa? Ho dimostrato che per ogni $n\in NN^\star$ e per ogni $\alpha>0$ è convergente l'integrale
\[\int^{1/n}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x})}{x}\]
Fissato $\alpha$, ha dunque senso definire la funzione $F_\alpha(s)$ ponendo
\[F_\alpha(s):=\int^{1/s}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x})}{x}\]
Quando verifico che sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza (della serie in questo caso...), devo dimostrare che
\[\lim_{s\to \infty}s\cdot F_\alpha(s)=0\]
Per farlo, cambio variabile e uso De L'Hopital, dal momento che c'è la forma indeterminata e le funzioni in gioco sono derivabili quanto ci pare. Non sei d'accordo?
Ok....
4/3 è anche il mio risultato.
4/3 è anche il mio risultato.
Qualcuno sa già cosa succede per $2/3<\alpha\le 4/3$?
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