[EX] - Una "serie di integrali"
Devo dire se converge o meno la serie
\[\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\]
Non so (e non ho molta voglia di scoprirlo francamente
) se l'integrale sia calcolabile in maniera elementare. Ad ogni modo mi pare si possa fare così. Brevemente, ricordando che $\sin x \le x$ se $x\ge 0$, ho
\[\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\le\sqrt{x},\ \forall x\in ]\, 0,1/n]\implies \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\le \int^{1/n}_0 \sqrt{t} \stackrel{\sum\int^{1/n}_0 \sqrt{t}<+\infty}{\implies}\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}<+\infty\]
Right?
\[\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\]
Non so (e non ho molta voglia di scoprirlo francamente
) se l'integrale sia calcolabile in maniera elementare. Ad ogni modo mi pare si possa fare così. Brevemente, ricordando che $\sin x \le x$ se $x\ge 0$, ho \[\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\le\sqrt{x},\ \forall x\in ]\, 0,1/n]\implies \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}\le \int^{1/n}_0 \sqrt{t} \stackrel{\sum\int^{1/n}_0 \sqrt{t}<+\infty}{\implies}\sum \int^{1/n}_0 \dfrac{\sin(t\sqrt{t})}{t}<+\infty\]
Right?
Risposte
"Plepp":
\[\int^{1/n}_0\dfrac{\sin^\alpha(x\sqrt{x}) }{x}\,\text{d}x< \int^{1/n}_0x^{\frac{3}{2}\alpha-1}\,\text{d}x
\]
Basta arrivare qui e calcolare l'integrale a secondo membro (ricordandosi che si tratta sempre di quantità positive) per dedurre che la serie converge per \(\alpha > 2/3\).
Essì, il problema che quello non è il termine generale della serie di Gugo (mi sono confuso, ma ho corretto nell'edit), che è
\[n\int^{1/n}_0\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\]
Calcolando quindi l'integrale e moltiplicando per $n$ si trova
\[\{\text{termine generale della serie}\}<\text{un multiplo di}\ \dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}\alpha-1}}\]
\[n\int^{1/n}_0\dfrac{\sin(x\sqrt{x})}{x}\]
Calcolando quindi l'integrale e moltiplicando per $n$ si trova
\[\{\text{termine generale della serie}\}<\text{un multiplo di}\ \dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}\alpha-1}}\]
Ah, scusa, ho visto adesso il testo corretto.
Come hai già detto, arrivi a dimostrare la convergenza per \(\alpha > 4/3\).
Con lo stesso tipo di argomento dimostri che la serie diverge se \(0 < \alpha \leq 4/3\); ti basta infatti osservare che esiste \(C > 0\) t.c.
\[
C t \leq \sin(t) \leq t\qquad \forall t\in [0,1].
\]
(Basta scegliere \(C = \sin 1\).)
Come hai già detto, arrivi a dimostrare la convergenza per \(\alpha > 4/3\).
Con lo stesso tipo di argomento dimostri che la serie diverge se \(0 < \alpha \leq 4/3\); ti basta infatti osservare che esiste \(C > 0\) t.c.
\[
C t \leq \sin(t) \leq t\qquad \forall t\in [0,1].
\]
(Basta scegliere \(C = \sin 1\).)
Mmmm...scusami Rigel ma è da stamattina che vedo solo serie e integrali, il cervello si rifiuta di funzionare 
Puoi spiegarmi un po' più dettagliatamente?
Puoi spiegarmi un po' più dettagliatamente?
Al posto di maggiorare l'integrale, lo devi minorare.
giusto...sorry 
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