[EX] Un problema di Gauss

[gugo82]

Esercizio:

Siano \(x>0\) ed \((a_n)\) la successione reale definita per ricorrenza ponendo:
\[
\tag{1} \begin{cases} a_{n+1}=x^{a_n} &\text{, per } n\in \mathbb{N}\\
a_0=x\; .
\end{cases}
\]

1. Supponendo, per il momento, che \((a_n)\) sia regolare (cfr. punti seguenti), determinare \(x\) in modo che risulti:
\[
\lim_n a_n = 2\; .
\]

2. Studiare la monotonia della successione \((a_n)\) al variare di \(x\).

3. Determinare, se possibile, i valori di \(x\) che rendono convergente la successione \((a_n)\).

[Quinzio]

1. $x=sqrt2$
2. Intuitivamente per $1

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[Plepp]

Sappi che mi stai distraendo dallo studio...

Mi occupo dei primi due punti, ché il terzo mi sembra più laborioso.

Innanzitutto si ha
\[\lim_n a_n = 2 \iff 2=x^2\iff x=\pm \sqrt 2\]
ma scartiamo la soluzione negativa dal momento che $x>0$.

Per $x=1$ la successione è costante (e quindi converge pure...). Supponiamo ora $x>1$: voglio provare che $(a_n)$ è strettamente crescente. Abbiamo
\[a_1=x^x>x=a_0 \iff x\ln x> \ln x\stackrel{\ln x>0}{\iff} x>1\]
La base dell'induzione è dimostrata. Suppongo che sia $a_{n+1}>a_n$; ho quindi
\[a_{n+2}=x^{a_{n+1}}>x^{a_n}=a_{n+1}\stackrel{x>1}{\iff}a_{n+1}>a_n\]
che è vero per l'ipotesi induttiva.

Se $x\in ]0,1[$, invece, si ha che $(a_{2k})$ è strettamente crescente e $(a_{2k+1})$ è strettamente decrescente. Dimostro la prima affermazione (la seconda si prova allo stesso modo...); passo base:
\[a_2=x^{x^x}>x=a_0\stackrel{0 che è vero dal momento che $0a_{2k}$; da questa ho
\[a_{2k+4}=x^{a_{2k+3}}=x^{x^{a_{2k+2}}}>x^{a_{2k+1}}=x^{x^{a_{2k}}}=a_{2k+2}\stackrel{0a_{2k}\]
e abbiamo finito.

Noto ancora che se $x\in ]0,1[$ la successione è limitata e sta pure lei in $]0,1[$ (si dimostra immediatamente per induzione); dopodiché, supponendo di non aver scritto stronzate, cercherei di dimostrare - al momento non ho idee su come farlo - che quando $0
Appena posso cerco di terminare.

[Plepp]

Eureka!

Ritorno a considerare il caso $x>1$. Abbiamo verificato che in tal caso $(a_n)$ è monotona, dunque ammette limite - battezziamolo $L$ - e si ha $L="sup"_n a_n$. Inoltre
\[L\in \mathbb{R} \iff L=x^L\iff x=L^{1/L} \tag{1}\]
Poniamo ora $f(t):=t^{1/t}$. La $(1)$ può essere vera solo se $x\in "Im"f\cap ]1, +\infty[$; studicchiando un po' la $f$, si trova
\[\text{Im}\ f=]0,e^{1/e}]\]
Quindi se $1possibile che $L$ sia un numero reale; altrimenti, se $x\in [e^{1/e},+\infty[$, $(a_n)$ deve necessariamente divergere.

Per dimostrare che, se $1 \[a_{n+1}=x^{a_n}\le x^e\le (e^{1/e})^e=e\]
Voilà

Riassumendo le informazioni raccolte fin'ora:
• se $x\in [1, e^{1/e} ]$ la successione converge;
• se $x\in ]e^{1/e},+\infty$[ la successione diverge.

Sulle $x$ che rimangono ci penso appena posso, ora ritorno alle funzioni integrali e alle serie

Molto carino l'esercizio. Grazie Gugo

P.S. Una curiosità: come nasce il problema?