[EX] Un problema di estremo vincolato

[gugo82]

Questo esercizio è pensato per chi prepara Analisi II (anche se si può risolvere in modi di gran lunga più elementari).
Quindi prego "i soliti noti" di evitare risposte, almeno prima di un paio di settimane.

***

Esercizio:

Siano \(P\) e \(Q\) due punti distinti del piano.
Determinare la retta condotta per \(P\) che ha la massima distanza da \(Q\).

[theras]

Vabbè..
perchè allora non riproporlo per uno scervellamento di chi non ha ancora preparato l'esame di Analisi I,
ma in questi giorni dovrebbe essere al massimo della sua forma
(a ben pensarci qualcuno potrebbe avere la stanchezza di fine corsa,però ) ?
Saluti dal web.

[Plepp]

anche se si può risolvere in modi di gran lunga più elementari

A occhio mi sembra che basti prendere la retta per $P$ perpendicolare alla retta $PQ$. No?

[Quinzio]

"gugo82":Questo esercizio è pensato per chi prepara Analisi II (anche se si può risolvere in modi di gran lunga più elementari).
Quindi prego "i soliti noti" di evitare risposte, almeno prima di un paio di settimane.

Però l'intersezione dell'insieme di quelli che stanno preparando Analisi II e dell'insieme dei soliti noti non è vuota , perchè sto preparando proprio quell'esame
(Sempre che io faccia parte dei soliti noti... di sicuro non sono nei soliti... ignoti, mah...).

A parte le chiacchere,

io l'avrei risolto alla "Plepp", però non mi torna il titolo. Perchè problema di estremo vincolato ?
Il vincolo potrebbe essere il punto stesso, ok, ma quindi si dovrebbe minimizzare la funzione distanza di una retta vincolata a passare per P ?

[Skyrim]

premetto che a primo impatto avevo pensato come Plepp, però ero rimasto dubbioso, per la facilità...

Allora ho pensato a questo:

Possiamo prendere il cerchio di centro uno dei due punti con l'altro punto sulla sua frontiera, la retta passante per il punto sulla frontiera sarà a massima distanza dal centro quando essa è tangente alla frontiera. Quindi si può procedere in due modi:
1- si da per buono quanto appena detto e allora basta trovare l' equazione della retta tangente e potremmo farlo applicando il teorema del dini, sulla circonferenza, frontiera del cerchio.
2- ci riconduciamo ad un problema di estremi vincolati la funzione è la metrica tra i due punti e il vincolo il punto?!? e quindi basterebbe sostituire il punto alla funzione calcolarne il punto in cui la funzione è massima, tale punto è il coefficiente della retta passante per il punto sulla circonferenza a massima distanza dal centro

ps: sicuramente avrò detto cavolate, ma tanto vale sbagliare e vedere perchè, cosi si impara

[theras]

Guardare il mondo con gli occhi del bambino:
non ricordo proprio dove ho sentito o letto questa frase,
ma certo è che era piena di pathos e,ancor più,lo è che è difficile farlo man mano che,
crescendo,diventiamo sempre più profondi e complicati .
Sarà questa la ragione per la quale preferisco l'approccio geometrico a questo problema e vedo quello analitico,in questa sede ben esposto,
come una sorta di complemento per far tornare in modo difficile conti semplici
(cosa che non fà mai male,sopratutto perché ci torna utilissimo quando i concetti si fanno via via più generali,
e ci gioco un penny che è la ragione di base per la quale l'OP ha postato in questa stanza e non in quella di Geometria o delle Superiori ).
Saluti dal web.

[gugo82]

Come detto:

"gugo82":Questo esercizio è pensato per chi prepara Analisi II (anche se si può risolvere in modi di gran lunga più elementari).

ero certo che in molti avrebbero pensato di risolvere in maniera geometrica.
Tuttavia, ciò non è quello che chiedevo qui.

Aspetto fiducioso.

[Quinzio]

E noi aspettiamo fiduciosi che prima o poi arriverà la soluzione....

[gugo82]

@ Quinzio: Da parte mia?
Perché qui sembra che tutti siano bravi a far svolgere i propri esercizi da altri, ma quando si tratta di impegnarsi un po' l'utenza (che dovrebbe essere interessata) latita.

[Plepp]

Ho la sensazione di aver scelto un approccio sbagliato, ché mi ritrovo a dover massimizzare una robaccia del tipo
\[d(m):=\sqrt{\frac{1}{m^2}t^2(m)+m^2t^2(m)}\]
essendo $m$ il coefficiente angolare della generica retta passante per $P$ (che per evitare contazzi ho supposto essere l'origine, il che non dovrebbe nuocere a nessuno) e
\[t(m):=\dfrac{x_Qm-y_Q}{1+m^2}\]

[gugo82]

@ Plepp: Buono l'approccio, ma c'è un errore fondamentale: quelle cha hai considerato non sono tutte le rette passanti per \(Q\).
E poi: quale sarebbe il vincolo nel tuo problema di estremo?

[Plepp]

"gugo82":ma c'è un errore fondamentale: quelle cha hai considerato non sono tutte le rette passanti per \(Q\).

Giaggiàggià manca quella verticale

Ho la testa tra gli integrali, appena sto più tranquillo vedo di aggiustare.

EDIT: comunque, $m$ varia in $(-\infty,+\infty)$, ma data la natura della funzione da massimizzare (che ho ricopiato male, tra l'altro), un massimo dovrei trovarlo comunque

[gugo82]

@ Plepp: Certo che lo trovi (a meno che la retta non sia verticale, ovviamente)... Ma la questione è che qui si chiedeva una soluzione usando le tecniche di estremo vincolato di Analisi II.

[Plepp]

Oh, me l'ero perso sono andato dritto con Analisi I. Mmh, in due variabili probabilmente la faccenda diventa più interessante e meno "calcolosa", vediamo

[DonkeyShot93]

Penso di saperlo risolvere (o meglio spero). Mentre si aspetta la soluzione potrei inviartelo via PM.
Comunque apprezzo questa iniziativa. Questo forum è una preziosa risorsa ed è brutto venire qui solo per chiarire i dubbi prima dell' esame (anche io sto preparando le materie, ma è bello e costruttivo aiutare anche gli altri e partecipare attivamente alle discussioni oltre e porre solamente i propri dubbi).

[gugo82]

@ DonkeyShot93: Posta pure qui.
A che servirebbe una comunicazione in PM?


P.S.: Penso sia chiaro che questo è un esercizio che sto proponendo alla community, quindi ne ho la soluzione (come al solito).

[Brancaleone1]

Anche io l'avrei risolto in maniera geometrica, ma purtroppo non è quello che il buon gugo chiede
Inoltre non sono stato affatto formale...

Siano $P$ e $Q$ punti appartenenti a una circonferenza tali che il segmento $bar(PQ)$ corrisponda al diametro $d$ di tale circonferenza.
Sia $t$ la retta tangente la circonferenza nel punto $P$: si verifica in tal modo che $bar(PQ)=d=D_(max)$ per tale configurazione.
Tuttavia qualsiasi altra retta $r ne t$ passante per $P$ è secante alla circonferenza nei punti $A$ e $B$ (eventualmente coincidenti rispettivamente con $P$ e $Q$), e si verifica perciò facilmente che la distanza tra $Q$ e la retta $r$ è inferiore, poiché essa coincide con il modulo di un segmento perpendicolare alla corda $bar(AB)$, il quale è sicuramente inferiore al diametro $d$.
La retta che cerchiamo è dunque $t$, cioè la retta passante per $P$ perpendicolare al segmento $bar(PQ)$. $square$

[theras]

Ma son troppo fuso io a ritenere che,indicati con $P=(x_P,y_P),Q=(x_Q,y_Q)$ gli assegnati punti del piano
(avremo $(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2>0$ in forza dell'ipotesi $P ne Q$..),
a meno di opportune trasformazioni rigide(i.e. traslazione dell'origine ad esempio in $P$..)si tratta "solo" di trovare il massimo di $f(a,b,c)=(c^2)/(a^2+b^2):RR^3 setminus bigcup_(c in RR){(0,0,c)} to RR$ sotto il vincolo $aX_Q+bY_Q+c=0$
(dove $(X_Q,Y_Q)$ sono le eventuali coordinate di $Q$ nel "nuovo" sistema di riferimento con origine in $P$..)?
Questo avevo pensato volesse Gugo,ad una prima lettura del suo post ormai quasi due settimane fà:
mi sbagliavo di brutto?
Saluti dal web.

[gugo82]

@ theras: Fuochino...

In verità pensavo ad un lavoro da fare sui parametri della retta.

Introduciamo un sistema di riferimento cartesiano "furbo" nel piano, mettendo l'origine in \(P\). In tal modo la generica retta \(r\) condotta per \(P\) ha equazione cartesiana:
\[
a\ x+b\ y=0
\]
in cui \(a,b\in \mathbb{R}\) non entrambi nulli.
Come noto, non si lede la generalità supponendo che \(a^2+b^2=1\): infatti, se \(a^2+b^2=r^2>0\), allora l'equazione della retta si riscrive in maniera equivalente come:
\[
\underbrace{\frac{a}{r}}_{=:\alpha}\ x+ \underbrace{\frac{b}{r}}_{=:\beta}\ y=0
\]
con \(\alpha^2+\beta^2=1\).
Dette \((x_0,y_0)\) le coordinate di \(Q\) nel sistema di riferimento scelto, la distanza tra \(Q\) e la generica retta per \(P\) si calcola mediante l'uso della nota formula:
\[
\operatorname{dist}(Q,r) = \frac{|a\ x_0+b\ y_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\]
che, per la condizione di normalizzazione, si riduce a:
\[
\operatorname{dist}(Q,r) = |a\ x_0+b\ y_0|=:f(a,b)\; .
\]
Quindi il problema di determinare la retta di massima distanza da \(P\) equivale a determinare i valori di \(a,b\) legati dalla condizione di normalizzazione che massimizzino la distanza \(\operatorname{dist}(Q,r)=f(a,b)\); perciò esso si schematizza come:
\[
\begin{cases}
\text{massimizzare} &f(a,b)=|a\ x_0+b\ y_0|\\
\text{s. v. } &a^2+b^2=1
\end{cases}
\]
o, equivalentemente:
\[
\begin{cases}
\text{massimizzare} &f^2(a,b)=(a\ x_0+b\ y_0)^2\\
\text{s. v. } &a^2+b^2=1\; ,
\end{cases}
\]
in cui almeno uno tra \(x_0\) ed \(y_0\) è distinto da \(0\).

Buon lavoro.

[theras]

O.k. Signor G. ,mi conforti:
mi pare che i due procedimenti
siano sostanzialmente equivalenti,
e di certo lo sono i loro rispettivi spunti iniziali.
Grazie per l'augurio di buon lavoro(e sopratutto per l'occasione di confronto),
ma se era rivolto pure a me per una volta me lo risparmio:
si sà già come andranno a finire questi conti ,
sui quali passo a malincuore perché credo che l'eccelso spirito didattico(affini sempre più,vedo )
del tuo quesito è che svolgerli può essere molto istruttivo.
Saluti dal web.

[gugo82]

Tanto vale chiudere i contarielli.

Dicevamo che bisogna risolvere:
\[
\begin{cases} \text{massimizzare} &f^2(a,b)=(a\ x_0+b\ y_0)^2\\ \text{s. v. } &a^2+b^2=1\; . \end{cases}
\]
La Lagrangiana del problema è:
\[
F(a,b;\lambda) = (a\ x_0+b\ y_0)^2 - \lambda\ (a^2+b^2-1)=0
\]
sicché il problema di massimo vincolato equivale al problema di massimo libero per la funzione\(F(a,b;\lambda)\) in \(\mathbb{R}^3\).
La condizione necessaria di estremo equivale al sistema nonlineare:
\[
\begin{cases}
x_0\ (x_0\ a+y_0\ b)- \lambda a=0\\
y_0\ (x_0\ a+y_0\ b)- \lambda b=0\\
a^2+b^2=1
\end{cases}
\]
Moltiplicando la prima equazione per \(y_0\), la seconda per \(x_0\) e sottraendo si ottiene:
\[
\lambda\ (y_0\ a-x_0\ b) =0
\]
da cui segue \(\lambda =0\) oppure \(y_0\ a-x_0\ b=0\); d'altra parte, moltiplicando la prima per \(a\) e la seconda per \(b\) e sommando si ottiene:
\[
\lambda\ (a^2+b^2)=(x_0\ a + y_0\ b)^2
\]
ossia:
\[
\lambda =\left( \frac{x_0\ a + y_0\ b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2\; .
\]
Distinguiamo adesso i due casi così come si presentavano in precedenza.

[*:1n3jtle4] se \(\lambda=0\), allora deve necessariamente essere \(x_0\ a+y_0\ b=0\), il che significa che \((a,b)\) è ortogonale al vettore \(\vec{QP}=(x_0,y_0)\); dovendo valere la condizione di normalizzazione \(a^2+b^2=1\), troviamo:
\[
a=\frac{\pm y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} ,\quad b=\frac{\mp x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\; ,
\]
quindi i corrispondenti punti critici della Lagrangiana sono:
\[
\left( \frac{\pm y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}, \frac{\mp x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} ,0\right)\; ;
\]

[/*:m:1n3jtle4]
[*:1n3jtle4] se \(y_0\ a -x_0\ b=0\), allora necessariamente il vettore \((a,b)\) è parallelo a \(\vec{QP}=(x_0,y_0)\); dovendo valere la condizione di normalizzazione \(a^2+b^2=1\), troviamo:
\[
a=\frac{\pm x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} ,\quad b=\frac{\pm y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\; ,
\]
quindi i corrispondenti punti critici della Lagrangiana sono:
\[
\left( \frac{\pm x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}, \frac{\pm y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} , \lambda \right)
\]
con \(\lambda \in \mathbb{R}\).[/*:m:1n3jtle4][/list:u:1n3jtle4]

Dato che la funzione da massimizzare è \(\geq 0\), si vede che i punti corrispondenti a quelli trovati per la Lagrangiana nel caso \(\lambda=0\) sono minimi; quindi necesariamente sono gli altri ad essere massimi relativi.
Data la simmetria del problema, è evidente che entrambi i versori:
\[
\left(\frac{\pm x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}} , \frac{\pm y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\right)
\]
risolvono il problema di massimo; inoltre, tali versori individuano la medesima retta, cioé la retta per \(P\) perpendicolare alla retta condotta per \(P\) e \(Q\).

Quindi, la retta passante per \(Q\) che ha maggior distanza da \(P\) è quella perpendicolare alla retta per \(P\) e \(Q\), come già sapevamo per altre vie.