[EX] Un po' di EDO

[gugo82]

Propongo un esercizio sulle equazioni differenziali ordinarie, che esula un po' da quelli usualmente presenti nei libri di testo.
Spero che qualche studente (non solo di Analisi II, ma anche di corsi superiori) di buona volontà voglia provare a risolverlo.

***

Esercizio:

1. Determinare l'integrale generale della EDO:

(*) [tex]$y^{\prime \prime} (x)+y(x)=\tfrac{1}{x}$[/tex].

2. Dimostrare che la funzione definita ponendo:

[tex]$y_1(x):=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\ \text{d} t$[/tex]

è una soluzione della (*) per [tex]$x>0$[/tex], che [tex]$y_1(x)$[/tex] è continua in [tex]$0$[/tex] e che:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} y_1(x)=0$[/tex].

3. Provare che:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\ \text{d} t =\int_0^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\ \text{d} t$[/tex]

e dedurne il valore di [tex]$y_1(0)$[/tex].

[dissonance]

Intanto scrivo il primo punto, per risvegliare l'interesse al problema. Non ho fatto altro che fare due conti.

L'equazione omogenea associata è quella di un oscillatore armonico con pulsazione unitaria e ha quindi integrale generale

$y_{c_1, c_2}(t)=c_1 cos(t)+c_2sin(t)$.

Per trovare una soluzione particolare imponiamo la condizione $t > 0$ (per scansare la singolarità nell'origine dei tempi) e applichiamo il metodo della variazione delle costanti. Risolviamo quindi il sistema

$W(t)c'(t)=[[0], [1/t]]$

($W$= matrice Wronskiana), ovvero

$[[cos t, sin t], [-sin t, cos t]][[c_1'(t)], [c_2'(t)]]=[[0], [1/t]]$

ottenendo $c'_1(t)=-\frac{sin t}{t}, c'_2(t)=\frac{cos t}{t}$. Per $c_1(t)=si(t), c_2(t)=ci(t)$ (integralseno, integralcoseno rispettivamente, definizioni di cui apprendo or ora da Wikipedia ) otteniamo la soluzione particolare

$-cos(t)si(t)+sin(t)ci(t)$.

Quindi l'integrale generale della EDO assegnata è

$y_{c_1, c_2}(t)= -cos(t)si(t)+sin(t)ci(t)+c_1cos(t)+c_2sin(t), \quad t > 0$.

[gugo82]

@dissonance: OK! (E non avevo dubbi che sapessi risolverlo... )

Alla questione 2 si può rispondere in più modi; uno di questi è davvero elementare, basta fare solo un po' di conticini...

[dissonance]

Il punto 2 mi ha fatto incasinare un po', sai? Infatti è abbastanza sottile come questione, perché si parla di integrali convergenti non assolutamente. Comunque ecco il mio svolgimento:

L'integrale generale della (*) può riscriversi come segue:

$Y(t)=-S(t)cos t + C(t)sin t, $

dove $S$ e $C$ sono primitive di $\frac{sin t}{t}, \frac{cos t}{t}$ rispettivamente. Applicando le formule di addizione si ottiene

$y(t)=\int_t^\infty \frac{sin(v-t)}{v}dv=cos(t)int_t^infty \frac{sin v}{v}dv-sin t int_t^infty \frac{cos v}{v}dv,$

ovvero $y(t)=-S(t)cos t + C(t) sin t$ una volta posto $S(t)=-int_t^infty \frac{sin v}{v}dv, C(t)=-int_t^infty \frac{cos v}{v}dv$. Quindi $y$ è soluzione della (*).

Mostriamo ora che $y$ è continua in $0$. E' sufficiente dimostrare la continuità del secondo addendo, $C(t)sin t$, il che può essere fatto con la regola di l'Hôpital (siamo in presenza di una forma indeterminata $0*infty$):

$sin t int_t^infty frac{cos u}{u}du=frac{int_t^infty frac{cos u}{u}du}{ frac{1}{sin t}}$,

quindi il rapporto delle derivate prime è

$frac{frac{cos t}{t}sin^2t}{-cos t}=frac{sin^2 t}{t}\to 0$.

Infine, il fatto che

$lim_{t \to infty} y(t)=0$

segue subito da

$lim_{t \to infty} C(t)=lim_{t \to \infty}S(t)=0$.

Quest'ultima affermazione è vera perché le due funzioni $C(t), S(t)$ sono "resti $t$-esimi" di integrali impropri convergenti. In analogia con i resti $n$-esimi delle serie numeriche convergenti esse sono infinitesime per $t \to infty$.

[dissonance]

Ed ecco il punto 3.

Siano

$y(x)=\int_0^\infty \frac{sin t}{t+x}\, dt, \quad z(x)=\int_0^\infty \frac{e^{-sx}}{1+s^2}\, ds$.

Entrambe queste funzioni sono soluzioni della (*). Questo segue immediatamente da

$z''(x)=\int_0^infty \frac{t^2}{1+t^2}e^{-tx}\ dt$ (qui si deriva sotto il segno di integrale, operazione giustificabile via teorema della convergenza dominata grazie al fatto che la funzione integranda e tutte le sue derivate rispetto ad $x$ decadono esponenzialmente),

e da

$int_0^infty e^{-tx}\ dt=1/x$.

Inoltre entrambe le funzioni si annullano per $x \to\infty$. Affermiamo che da ciò segue $y equiv z$.

Ricordiamo infatti che, dette $S$ e $C$ le primitive di $frac{sin x}{x}$ e, rispettivamente, di $\frac{cos x}{x}$ che si annullano per $x \to infty$, l'integrale generale della (*) può esprimersi come

$-[S(x)+H]cos x + [C(x)+K]sin x$

per costanti $H, K$. Perciò se

$y_1(x)=-[S(x)+H_1]cos x + [C(x)+K_1]sin x \quadquad y_2(x)=-[S(x)+H_2]cos x + [C(x)+K_2]sin x$

sono due soluzioni di (*) tali che $lim_{x \to infty}y_1(x)=lim_{x \to infty} y_2(x)=0$, allora da

$0=lim_{x \to infty}[y_1(x)-y_2(x)]=lim_{x to infty}[K_1-K_2]cos(x)+[H_2-H_1]sin(x)$

desumiamo che $K_1=K_2, H_1=H_2$. E quindi le due soluzioni coincidono.

Infine, è immediato calcolare

$z(0)=int_0^infty \frac{dt}{1+t^2}=pi/2$

da cui la conclusione

$y(0)=pi/2$.

Questo esercizio è veramente molto bello ed è stato parecchio istruttivo rifletterci su. Vedi un po' se la soluzione ti convince che poi avrei una domanda da porre, quando hai due minuti.