[Ex] - Un limite
Ho trovato in biblioteca un libricino impolverato di L. Hörmander (in svedese) risalente agli anni '50. E' una raccolta di problemi che si davano agli studenti del primo anno (credo). Ne propongo uno.
Esercizio. Sia \( f :[0,1] \to \mathbb{R} \) ovunque continua e non-negativa. Dimostrare che \[ \lim_{x \to 0^{+}} x \int_x^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt = f(0). \]
Esercizio. Sia \( f :[0,1] \to \mathbb{R} \) ovunque continua e non-negativa. Dimostrare che \[ \lim_{x \to 0^{+}} x \int_x^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt = f(0). \]
Risposte
Leggi lo svedese 
?
E' "carino" perché la forma di indecisione viene dall'integrale improprio, dà un po' di "brio" a un esercizio tipico...
? E' "carino" perché la forma di indecisione viene dall'integrale improprio, dà un po' di "brio" a un esercizio tipico...
[ot]
Quälcosinå
[/ot]
"alessio76":
Leggi lo svedese
Quälcosinå
[/ot]
Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
"Bremen000":
Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
Con l'ulteriore restrizione \( f(0) > 0 \) l'esercizio diventa da scuola superiore (sono sicuro di averne trovato uno simile in un compito, si risolve "brutalmente" con de l'Hôpital). Sicuramente in una universita' italiana sarebbe considerato di livello abbastanza facile. Sulla Svezia ho qualche dubbio ulteriore, non sono sicuro che uno studente medio del primo anno sia in grado di risolverlo.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="Bremen000"]Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
Con l'ulteriore restrizione \( f(0) > 0 \) l'esercizio diventa da scuola superiore (sono sicuro di averne trovato uno simile in un compito, si risolve "brutalmente" con de l'Hôpital).[/quote]
A che serve $f(0) > 0$?
"gugo82":
[...] A che serve $f(0) > 0$?
A far "certamente" esplodere l'integrale a \(0\). Se \( f(0) = 0\) non e' chiaro se \( \lim_{x \to 0^+} \int_x ^1 f(t)/t^2 \, dt = \infty \).
Ma in questo caso non è $f(0) >0$? Hai detto "$f$ continua e ovunque positiva".
"Bremen000":
Ma in questo caso non è $f(0) >0$? Hai detto "$f$ continua e ovunque positiva".
Intendevo non-negativa, lost in translation. Vado a modificare.
Ah, ok. Ora non se è più così facile 
Ma cosa c'entra che sia non negativa?
"otta96":
Ma cosa c'entra che sia non negativa?
Cosi' e' formulato l'esercizio!
Ah ok, però non serve a niente.
[ot]Qualche anno fa mi sono trovato a parlare di Hörmander con un signore che lo aveva conosciuto personalmente. Diceva che era una persona "sinistra" (sinister). Non ho capito cosa intendesse. Forse era una specie di Conte Dracula 
[/ot]
[/ot]
@dissonance: [ot]Sto letteralmente nel dipartimento in cui si e' dottorato ed ha insegnato per anni. Se ne sentono un po' di tutti i colori. Ma mi pare che tutti concordino sul fatto che fosse tre spanne sopra tutti (anche fisicamente, visto che era parecchio alto).[/ot]
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[ot][quote="alessio76"]Leggi lo svedese
Quälcosinå
[/ot][/quote][ot]:lol:[/ot]
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="otta96"]Ma cosa c'entra che sia non negativa?
Cosi' e' formulato l'esercizio![/quote]
Forse sta lì per "semplificare" l'analisi dell'integrale improprio...la definizione si dava (di solito, in vecchi testi) per casi...all'inizio si considerano funzioni a segno costante...così rientra subito nella prima parte della teoria senza complicazioni dovute a eventuali oscillazioni di segno dell'integranda...in fondo (pare) è appunto un'esercizio da primo anno...
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
@dissonance: [ot]Sto letteralmente nel dipartimento in cui si e' dottorato ed ha insegnato per anni. Se ne sentono un po' di tutti i colori. Ma mi pare che tutti concordino sul fatto che fosse tre spanne sopra tutti (anche fisicamente, visto che era parecchio alto).[/ot]
[ot]In effetti pare un gigante...ma sull'amaca con la bimba sembra quasi umano
https://www.ams.org/notices/201508/rnoti-p890.pdf[/ot]
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="gugo82"][...] A che serve $f(0) > 0$?
A far "certamente" esplodere l'integrale a \(0\). Se \( f(0) = 0\) non e' chiaro se \( \lim_{x \to 0^+} \int_x ^1 f(t)/t^2 \, dt = \infty \).[/quote]
Poco importa (ed è questo il punto dell’esercizio): il teorema del marchese vale sempre quando il denominatore tende ad $+- oo$.
... E se decidessimo di non usare De l'Hopital? 
Nota: non ho ancora tentato di risolvere il problema senza il teorema del Marchese e non sono sicuro che si possa trovare una strategia elegante bypassandolo.
Nota: non ho ancora tentato di risolvere il problema senza il teorema del Marchese e non sono sicuro che si possa trovare una strategia elegante bypassandolo.
"Mathita":
... E se decidessimo di non usare De l'Hopital?
Nota: non ho ancora tentato di risolvere il problema senza il teorema del Marchese e non sono sicuro che si possa trovare una strategia elegante bypassandolo.
Il caso \( f(0)=0\) si puo' bypassare: fissa \( \epsilon > 0 \), esistera' \( \delta > 0 \) tale che \( |f(t)| \le \epsilon \), diciamo per \( t \in [0, \delta) \). Allora \[ \begin{split} x \int_x ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt & = x \left( \int_x^\delta \frac{f(t)}{t^2} \, dt + \int_\delta ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt \right) \\ & \le x \epsilon \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\delta} \right) + x C(\delta) \end{split} \]per ogni \( x \in [0,\delta) \). Passando al limite ottieni \[ \lim_{x \to 0^+} x \int_x ^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt \le \epsilon. \]Concludi usando l'arbitrarieta' di \(\epsilon\).
"gugo82":
[...] Poco importa (ed è questo il punto dell’esercizio): il teorema del marchese vale sempre quando il denominatore tende ad $+- oo$.
E c'hai ragione pure te.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo