[Ex] - Un limite

[Studente Anonimo]

Ho trovato in biblioteca un libricino impolverato di L. Hörmander (in svedese) risalente agli anni '50. E' una raccolta di problemi che si davano agli studenti del primo anno (credo). Ne propongo uno.

Esercizio. Sia \( f :[0,1] \to \mathbb{R} \) ovunque continua e non-negativa. Dimostrare che \[ \lim_{x \to 0^{+}} x \int_x^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt = f(0). \]

[Mathita]

@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6, molto carina.

Io intendevo bypassare completamente De l'Hopital. My fault, non sono stato abbastanza esplicito nella richiesta.

Suppongo che in qualche modo si possa riciclare la tua dimostrazione aggiungendo e sottraendo $f(0)$ e giocando un po' con gli estremi di integrazione scegliendoli ad hoc. Ci penso su.

[dissonance]

"Mathita":
Suppongo che in qualche modo si possa riciclare la tua dimostrazione aggiungendo e sottraendo $f(0)$

Si, si, provaci.

[Mathita]

@Dissonance.

Pensavo a qualcosa del genere:

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{t^2}dt=x\left(\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)+f(0)}{t^2}dt\right)=x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+xf(0)\int_{x}^{1}\frac{1}{t^2}dt$

Svolgo i calcoli

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+f(0)(1-x)$

Per $x\to 0^{+}, f(0)(1-x)\to f(0)$ e per raggiungere la tesi "basta" far vedere che $x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt$ è infinitesimo per $x\to 0^{+}$.

Per ogni $x\in (0,1]$ si ha che

$0\le |x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt|\le x\int_{x}^{1}\frac{|f(t)-f(0)|}{t^2}dt$

Pongo $g(t)=|f(t)-f(0)|$ e osservo che $g(0)=0$ e $g(t)$ è continua e non negativa: concludo riconducendomi alla risoluzione di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.

Regge secondo voi?

[dissonance]

Esatto.

[Studente Anonimo]

"Mathita":@Dissonance.

Pensavo a qualcosa del genere:

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{t^2}dt=x\left(\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)+f(0)}{t^2}dt\right)=x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+xf(0)\int_{x}^{1}\frac{1}{t^2}dt$

Svolgo i calcoli

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+f(0)(1-x)$

Per $x\to 0^{+}, f(0)(1-x)\to f(0)$ e per raggiungere la tesi "basta" far vedere che $x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt$ è infinitesimo per $x\to 0^{+}$.

Per ogni $x\in (0,1]$ si ha che

$0\le |x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt|\le x\int_{x}^{1}\frac{|f(t)-f(0)|}{t^2}dt$

Pongo $g(t)=|f(t)-f(0)|$ e osservo che $g(0)=0$ e $g(t)$ è continua e non negativa: concludo riconducendomi alla risoluzione di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.

Regge secondo voi?

Yep, si fa cosi'!

[Bremen000]

"Mathita":@Dissonance.

Pensavo a qualcosa del genere:

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)}{t^2}dt=x\left(\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)+f(0)}{t^2}dt\right)=x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+xf(0)\int_{x}^{1}\frac{1}{t^2}dt$

Svolgo i calcoli

$x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt+f(0)(1-x)$

Per $x\to 0^{+}, f(0)(1-x)\to f(0)$ e per raggiungere la tesi "basta" far vedere che $x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt$ è infinitesimo per $x\to 0^{+}$.

Per ogni $x\in (0,1]$ si ha che

$0\le |x\int_{x}^{1}\frac{f(t)-f(0)}{t^2}dt|\le x\int_{x}^{1}\frac{|f(t)-f(0)|}{t^2}dt$

Pongo $g(t)=|f(t)-f(0)|$ e osservo che $g(0)=0$ e $g(t)$ è continua e non negativa: concludo riconducendomi alla risoluzione di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6.

Regge secondo voi?

Bello!