[EX] Un limite
Esercizio:
Senza usare tecniche di Calcolo Differenziale (i.e., teoremi di de l'Hopital, formule di Taylor, etc...) calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan (e^{\sqrt{x}} +1) - \arctan 2}{x}\; .
\]
Senza usare tecniche di Calcolo Differenziale (i.e., teoremi di de l'Hopital, formule di Taylor, etc...) calcolare:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan (e^{\sqrt{x}} +1) - \arctan 2}{x}\; .
\]
Risposte
Direi che si puo' fare cosi':
Innanzitutto ragioniamo con le x appartenenti a un intervallo $(0,\epsilon)$ con "$\epsilon$ piccolo a piacere"
$\frac{\arctan (e^{\sqrt{x}} +1) - \arctan 2}{x} = \frac{\arctan ((e^{\sqrt{x}} +1-2)/(1+2(e^{\sqrt{x}}+1))) }{x} $
$= \frac{\arctan ((e^{\sqrt{x}} -1)/(1+2(e^{\sqrt{x}}+1))) }{x}>= \frac{ ((e^{\sqrt{x}} -1)/(2e^{\sqrt{x}}+3)) }{x}>= \frac{ (e^{\sqrt{x}} -1) }{x}>=\frac{ \sqrt{x} }{x}=\frac{ 1 }{\sqrt(x)}$
$ \lim_{x\to 0}\frac{ 1 }{\sqrt(x)}=+\infty$
Allora per il confronto anche il nostro limite viene + infinito
[non so se si puo' dire che non abbia utilizzato tecniche di calcolo differenziali..]
Innanzitutto ragioniamo con le x appartenenti a un intervallo $(0,\epsilon)$ con "$\epsilon$ piccolo a piacere"
$\frac{\arctan (e^{\sqrt{x}} +1) - \arctan 2}{x} = \frac{\arctan ((e^{\sqrt{x}} +1-2)/(1+2(e^{\sqrt{x}}+1))) }{x} $
$= \frac{\arctan ((e^{\sqrt{x}} -1)/(1+2(e^{\sqrt{x}}+1))) }{x}>= \frac{ ((e^{\sqrt{x}} -1)/(2e^{\sqrt{x}}+3)) }{x}>= \frac{ (e^{\sqrt{x}} -1) }{x}>=\frac{ \sqrt{x} }{x}=\frac{ 1 }{\sqrt(x)}$
$ \lim_{x\to 0}\frac{ 1 }{\sqrt(x)}=+\infty$
Allora per il confronto anche il nostro limite viene + infinito
[non so se si puo' dire che non abbia utilizzato tecniche di calcolo differenziali..]
E' valido dire che quel limite corrisponde alla definizione di derivata della funzione $f(x)=arctan(e^sqrt(x)+1)$ in $x=0$ e che pertanto equivale a $lim_(x->0) f'(x)$?
@Vuplasir:
Certo, quello è il limite del rapporto incrementale in $0$ della funzione $f(x):=\arctan (e^{\sqrt{x}} + 1)$ dunque il suo risultato, se finito, fornisce la derivata \(f^\prime (0)\).
Tuttavia, l'esistenza finita di quel limite non è equivalente all'esistenza finita del limite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f^\prime (x)\); l'equivalenza si instaura solo quando $f$ è continua in $0$ (e derivabile lì intorno, ovviamente)[nota]Infatti, per avere un controesempio, basta considerare la funzione \(f(x) := x\), se $x\neq 0$, $f(x):=1$, se $x=0$.[/nota] come conseguenza del Teorema di de l'Hopital... Dunque, il calcolo del \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f^\prime (x)\) non può essere usato per determinare il risultato del limite assegnato, poiché rientra nelle "tecniche di Calcolo differenziale" espressamente proibite dal testo dell'esercizio.
@Wilde:
Ottimo... Ma bisogna specificare che formula di trigonometria hai usato.
"Vulplasir":
E' valido dire che quel limite corrisponde alla definizione di derivata della funzione $f(x)=arctan(e^sqrt(x)+1)$ in $x=0$ e che pertanto equivale a $lim_(x->0) f'(x)$?
Certo, quello è il limite del rapporto incrementale in $0$ della funzione $f(x):=\arctan (e^{\sqrt{x}} + 1)$ dunque il suo risultato, se finito, fornisce la derivata \(f^\prime (0)\).
Tuttavia, l'esistenza finita di quel limite non è equivalente all'esistenza finita del limite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f^\prime (x)\); l'equivalenza si instaura solo quando $f$ è continua in $0$ (e derivabile lì intorno, ovviamente)[nota]Infatti, per avere un controesempio, basta considerare la funzione \(f(x) := x\), se $x\neq 0$, $f(x):=1$, se $x=0$.[/nota] come conseguenza del Teorema di de l'Hopital... Dunque, il calcolo del \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f^\prime (x)\) non può essere usato per determinare il risultato del limite assegnato, poiché rientra nelle "tecniche di Calcolo differenziale" espressamente proibite dal testo dell'esercizio.
@Wilde:
Ottimo... Ma bisogna specificare che formula di trigonometria hai usato.
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