Ex Trasformata di Fourier
ciao ragazzi, sto svolgendo qeusto esercizio:
come noterete, al centro c'è una convoluzione:
ho trovato la trasformata dell'exp moltiplicata il segno e la trasformata di ciò che c'è a dx dell'uguale (che rappresentta la convolzuine fra le funzioni originarie)
ma poi come vado avanti potete darmi un input??
ovviamente devo trovare u(x)
ciao! e grazie
come noterete, al centro c'è una convoluzione:
ho trovato la trasformata dell'exp moltiplicata il segno e la trasformata di ciò che c'è a dx dell'uguale (che rappresentta la convolzuine fra le funzioni originarie)
ma poi come vado avanti potete darmi un input??
ovviamente devo trovare u(x)
ciao! e grazie
Risposte
Non per dire una cavolata, ma l'integrale lo fai rispetto ad $y$, vero? Perché se è come hai scritto, la $u$ nell'integrale la puoi portare fuori!
E poi non capisco: stai dicendo praticamente che hai una equazione integrale in $u$, giusto?
E poi non capisco: stai dicendo praticamente che hai una equazione integrale in $u$, giusto?
si scusami ho scritto male ovviamente è in dy, ora correggo.
yes devo trovare la funzione F trasformabile che soddisfi questa espressione.
yes devo trovare la funzione F trasformabile che soddisfi questa espressione.
Adesso vedo un'altra cosa che non capisco: cosa è quella $t$ davanti all'integrale?
è una semplice unità immaginaria che maple ha deciso di mettere corsivo..
"zoritativo":
è una semplice unità immaginaria che maple ha deciso di mettere corsivo..
Proprio per evitare questo tipo di problemi qui sul forum abbiamo un componente aggiuntivo che permette di inserire formule: si chiama MathML e sei pregato di usarlo.
La guida per imparare la trovi qui.
Grazie.
naturalmente l'errore è stato mio avevo messo i corsivo...
ma è obbligatorio utilizzare quel linguaggio?
latex va bene?
ma è obbligatorio utilizzare quel linguaggio?
latex va bene?
Allora, facciamo le seguenti posizioni:
$v(x)=e^{-{|x|}/3}\cdot\sign(x/3)$ e $g(x)=(\frac{ix}{3}+1)\cdot e^{-{|x|}/3}$
Il tuo problema diventa
$u(x)+\frac{i}{3}\cdot(v\star u)(x)=g(x)$.
Se applichi la trasformata di Fourier lo riscrivi come
$U(\xi)+\frac{i}{3}\cdot V(\xi)\cdot U(\xi)=G(\xi)$ dove $U, V, G$ sono le trasformate delle tre funzioni precedenti e quindi $U(\xi)=\frac{3 G(\xi)}{3+i\cdot V(\xi)}$.
A questo punto, se chiami $H(\xi)=1/{3+i\cdot V(\xi)}$ puoi riapplicare il teorema di convoluzione e scrivere
$u(x)=3(g\star h)(x)$, dove $h$ è l'antitrasformata di $H$. Prova a fare i conti e dimmi che viene.
$v(x)=e^{-{|x|}/3}\cdot\sign(x/3)$ e $g(x)=(\frac{ix}{3}+1)\cdot e^{-{|x|}/3}$
Il tuo problema diventa
$u(x)+\frac{i}{3}\cdot(v\star u)(x)=g(x)$.
Se applichi la trasformata di Fourier lo riscrivi come
$U(\xi)+\frac{i}{3}\cdot V(\xi)\cdot U(\xi)=G(\xi)$ dove $U, V, G$ sono le trasformate delle tre funzioni precedenti e quindi $U(\xi)=\frac{3 G(\xi)}{3+i\cdot V(\xi)}$.
A questo punto, se chiami $H(\xi)=1/{3+i\cdot V(\xi)}$ puoi riapplicare il teorema di convoluzione e scrivere
$u(x)=3(g\star h)(x)$, dove $h$ è l'antitrasformata di $H$. Prova a fare i conti e dimmi che viene.
mi stai facendo scendere la lacrimuccia, concettualmente ho capito alla perfezione ora applico....
stay tuned
stay tuned
mi sto incartando sull'antitrasformata:
la trasformata di V(w) = 6/(9w^2+1)
ora come la faccio l'antitrasformata?
applico la definizione tramite valor principale??
grazie
la trasformata di V(w) = 6/(9w^2+1)
ora come la faccio l'antitrasformata?
applico la definizione tramite valor principale??
grazie
A me la trasformata di $v(x)$ viene $V(\xi)=2i\cdot{9\xi}/{1+9\xi^2}$. Infatti, poiché $v(x)$ è una funzione dispari, la sua trasformata coincide con la trasformata in seno, cioè
$V(\xi)=i\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\sin(x\xi)\ dx=2i\int_0^{+\infty} e^{-x/3}\sin(x\xi)\ dx.$
Non è difficile verificare, integrando due volte per parti, che $\int_0^{+\infty} e^{-x/3}\sin(x\xi)\ dx=\frac{9\xi}{1+9\xi^2}$, e quindi la trasformata di $v$ come ho detto.
$V(\xi)=i\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\sin(x\xi)\ dx=2i\int_0^{+\infty} e^{-x/3}\sin(x\xi)\ dx.$
Non è difficile verificare, integrando due volte per parti, che $\int_0^{+\infty} e^{-x/3}\sin(x\xi)\ dx=\frac{9\xi}{1+9\xi^2}$, e quindi la trasformata di $v$ come ho detto.
aspetta aspetta aspetta!
io per trovare la trasformata di fourier applico la definizione moltiplicando per e^(-i*w*x) in dx tra -infinito e infinito.
quando ho una funzione dispari applico il seno e quando è pari il coseno???
perchè non mi viene la stessa cosa applicando la mia definizione più generica?
ho controllato anche con maple..
help
io per trovare la trasformata di fourier applico la definizione moltiplicando per e^(-i*w*x) in dx tra -infinito e infinito.
quando ho una funzione dispari applico il seno e quando è pari il coseno???
perchè non mi viene la stessa cosa applicando la mia definizione più generica?
ho controllato anche con maple..
help
Per definizione:
$V(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot e^{-ix\xi)\ dx=\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot \cos(x\xi)\ dx+i\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot \sin(x\xi)\ dx$
Se $v$ è pari, il primo integrale a destra è non nullo mentre il secondo è nullo. Se $v$ è dispari accade il contrario. Quindi si ha
$V(\xi)=2\int_{0}^{+\infty} v(x)\cdot \cos(x\xi)\ dx$ per $v$ pari
$V(\xi)=2i \int_{0}^{+\infty} v(x)\cdot \sin(x\xi)\ dx$ per $v$ dispari.
$V(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot e^{-ix\xi)\ dx=\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot \cos(x\xi)\ dx+i\int_{-\infty}^{+\infty} v(x)\cdot \sin(x\xi)\ dx$
Se $v$ è pari, il primo integrale a destra è non nullo mentre il secondo è nullo. Se $v$ è dispari accade il contrario. Quindi si ha
$V(\xi)=2\int_{0}^{+\infty} v(x)\cdot \cos(x\xi)\ dx$ per $v$ pari
$V(\xi)=2i \int_{0}^{+\infty} v(x)\cdot \sin(x\xi)\ dx$ per $v$ dispari.
Ho provato a fare anche questo esercizio.
G(w)*U(w) + 2[iwU(w)*V(w)] = H(w)
dove queste sono le trasformate risultanti dalla convoluzione:
g(t) = exp(-2t)
u(t) = incognita
v(t) = exp(-2|t|)
h(t) = 4*exp(-2|t|)
Io ho provato a fare le trasforamate:
G(w) = 1/(2+iw)
V(w) = 4/(w^2+4) (con |w| < (2/i))
e alla fine mi viene u(t) = (16/7)*exp(-(2/7)t)
ma poi così il limite viene indefinito...
mi controllate i calcoli?
grazie
"ciampax":
A questo punto, se chiami $H(\xi)=1/{3+i\cdot V(\xi)}$ puoi riapplicare il teorema di convoluzione e scrivere
$u(x)=3(g\star h)(x)$, dove $h$ è l'antitrasformata di $H$. Prova a fare i conti e dimmi che viene.
Sicuramente sto sbagliando, una volta che trovo V(w) e l 'ho sostituito in H(w), che faccio?
Lo devo moltiplicare a 3G(w) e quello che ottengo lo antitasformo per trovare u(x)?
Grazie ciao
Guarda che il primo integrale non è una convoluzione! (o almeno non lo è scritto così!)
ciao ciampax
il primo per vederla come una convoluzione, l'ho moltiplicato per la funzione di Heaviside, facendolo andare da -infinito a infinito.
può andar bene?
invece che mi dici del mio post riguardo l'altro esercizio??
ciao e grazie tante
il primo per vederla come una convoluzione, l'ho moltiplicato per la funzione di Heaviside, facendolo andare da -infinito a infinito.
può andar bene?
invece che mi dici del mio post riguardo l'altro esercizio??
ciao e grazie tante
Ciao. Allora, stavo pensando che forse si può fare in un altro modo il tutto. Dammi un po' di tempo (massimo stasera) e ne riparliamo... sia per il rpimo che per il secondo.
ti ringrazio!
ciao
ciao
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