[EX] - Sulle funzioni integrali
Saluti. Vorrei domandare conferme intorno allo svolgimento del seguente esercizio:
Siano \[\displaystyle f(x):=\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+t} dt \qquad g(x):=\int_{0}^{\sin x} \frac{1}{2+e^{t}} dt \]
definite per \(\displaystyle x \) in un opportuno intervallo contenente \(\displaystyle x=0 \), e sia \[\displaystyle F(x):=\begin{cases}\frac{f(x)}{g(x)} & x\ne0 \\ \alpha & x=0 \end{cases} \]
i) Determinare \(\displaystyle \alpha \) per cui \(\displaystyle F \) è continua in \(\displaystyle x=0 \);
ii) Stabilire se esiste \(\displaystyle \beta \) (ed in tal caso determinarlo) per cui si abbia \[\displaystyle F(x)-\alpha=\beta x + o(x) \quad x \to 0 \]
Svolgimento:
i - Siccome \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} \]
ho applicato subito il teorema del marchese ed ho ottenuto \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1+x}}{\frac{\cos x}{2+e^{\sin x}}}=\lim_{x \to 0} \frac{2+e^{\sin x}}{1+x}=3 \] da cui \(\displaystyle \alpha=3 \).
ii - Si ha che \[\displaystyle F(x)-\alpha-\beta x=o(x) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - \alpha - \beta x}{x}=0 \]
Siccome tal limite produce ancora una forma indeterminata risolvibile con de l'Hôpital, applico il suo teorema e ottengo \[\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2+e^{\sin x}}{1+x} - \beta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \beta=3 \]
Ho operato bene?
Siano \[\displaystyle f(x):=\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+t} dt \qquad g(x):=\int_{0}^{\sin x} \frac{1}{2+e^{t}} dt \]
definite per \(\displaystyle x \) in un opportuno intervallo contenente \(\displaystyle x=0 \), e sia \[\displaystyle F(x):=\begin{cases}\frac{f(x)}{g(x)} & x\ne0 \\ \alpha & x=0 \end{cases} \]
i) Determinare \(\displaystyle \alpha \) per cui \(\displaystyle F \) è continua in \(\displaystyle x=0 \);
ii) Stabilire se esiste \(\displaystyle \beta \) (ed in tal caso determinarlo) per cui si abbia \[\displaystyle F(x)-\alpha=\beta x + o(x) \quad x \to 0 \]
Svolgimento:
i - Siccome \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} \]
ho applicato subito il teorema del marchese ed ho ottenuto \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1+x}}{\frac{\cos x}{2+e^{\sin x}}}=\lim_{x \to 0} \frac{2+e^{\sin x}}{1+x}=3 \] da cui \(\displaystyle \alpha=3 \).
ii - Si ha che \[\displaystyle F(x)-\alpha-\beta x=o(x) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - \alpha - \beta x}{x}=0 \]
Siccome tal limite produce ancora una forma indeterminata risolvibile con de l'Hôpital, applico il suo teorema e ottengo \[\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2+e^{\sin x}}{1+x} - \beta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \beta=3 \]
Ho operato bene?
Risposte
"Delirium":
Siccome tal limite produce ancora una forma indeterminata risolvibile con de l'Hôpital, applico il suo teorema e ottengo \[\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2+e^{\sin x}}{1+x} - \beta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \beta=3 \]
Non ho capito da dove salta fuori (pare tu abbia fatto \(f'/g'\)). Qui dovresti calcolare \(\lim F'(x) - \beta\).
Grazie per avermi fatto notare la correzione, sono uno stupido, non so cosa mi sia preso.
In effetti non sono riuscito a sistemare del tutto quell'errore; ho trovato una soluzione ma è sporca e un po' truccata.
Nella relazione in cui c'è il \(\displaystyle \beta \) che devo ricavare divido tutto per \(\displaystyle x \ne 0 \) e ottengo \[\displaystyle \frac{F(x) - \alpha}{x}=\beta + \frac{o(x)}{x} \]
e pertanto devo verificare se \[\displaystyle \exists \ \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - \alpha}{x}=\beta \in \mathbb{R} \]
Riscrivo utilizzando il teorema della media integrale in questo modo: \[\displaystyle \frac{x \cos (\xi) (2 + e^{\gamma}) - 3(1+\gamma)\sin x}{x(1+\gamma)\sin x} \]
con \(\displaystyle \xi \in [0,x] \) e \(\displaystyle \gamma \in [0,\sin x] \) in modo che per \(\displaystyle x \to 0 \) \(\displaystyle x \approx \gamma \approx \xi \).
Se poi sviluppo in serie di McLaurin considerando \(\displaystyle x=\gamma=\xi \) ottengo il limite finito \(\displaystyle -2 \), ma è chiaro che questo passaggio è molto sporco. Tuttavia non sono riuscito a fare di meglio.
In effetti non sono riuscito a sistemare del tutto quell'errore; ho trovato una soluzione ma è sporca e un po' truccata.
Nella relazione in cui c'è il \(\displaystyle \beta \) che devo ricavare divido tutto per \(\displaystyle x \ne 0 \) e ottengo \[\displaystyle \frac{F(x) - \alpha}{x}=\beta + \frac{o(x)}{x} \]
e pertanto devo verificare se \[\displaystyle \exists \ \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - \alpha}{x}=\beta \in \mathbb{R} \]
Riscrivo utilizzando il teorema della media integrale in questo modo: \[\displaystyle \frac{x \cos (\xi) (2 + e^{\gamma}) - 3(1+\gamma)\sin x}{x(1+\gamma)\sin x} \]
con \(\displaystyle \xi \in [0,x] \) e \(\displaystyle \gamma \in [0,\sin x] \) in modo che per \(\displaystyle x \to 0 \) \(\displaystyle x \approx \gamma \approx \xi \).
Se poi sviluppo in serie di McLaurin considerando \(\displaystyle x=\gamma=\xi \) ottengo il limite finito \(\displaystyle -2 \), ma è chiaro che questo passaggio è molto sporco. Tuttavia non sono riuscito a fare di meglio.
Probabilmente il modo più semplice è quello di scriversi gli sviluppi al secondo ordine di \(f\) e \(g\), ottenendo (salvo errori)
\[
\frac{f(x)}{g(x)} = 3\cdot \frac{1-x/2+o(x)}{1-x/6+o(x)}\,.
\]
Da qui ottieni lo sviluppo al primo ordine di \(F\).
\[
\frac{f(x)}{g(x)} = 3\cdot \frac{1-x/2+o(x)}{1-x/6+o(x)}\,.
\]
Da qui ottieni lo sviluppo al primo ordine di \(F\).
Grazie Rigel!
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