[EX] Sul limite di certe funzioni integrali

[gugo82]

Esercizio:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto, \(x_0\) un p.d.a. per \(X\) ed \(a,b: X\to \mathbb{R}\) due funzioni tali che \(a(x)\leq b(x)\) intorno ad \(x_0\) e \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} a(x) = +\infty\).

Provare che, comunque si scelga una funzione reale \(f\) sommabile in un opportuno intorno di \(+\infty\),[nota]Questo significa che esiste un \(k \in [-\infty, +\infty[\) tale che \(f\in L^1(k,+\infty)\) (rispetto alla usuale misura di Lebesgue).[/nota] risulta:
\[\tag{1}
\lim_{x\to x_0} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\ \text{d} t =0\; .
\]

[dan952]

Non sono sicuro, ma a intuito mi verrebbe da dire che preso $x$ in un opportuno intorno di $x_0$, la funzione $f(t)$ in $[a(x),b(x)]$ è q.o. nulla.

[Rigel1]

"dan95":Non sono sicuro, ma a intuito mi verrebbe da dire che preso $x$ in un opportuno intorno di $x_0$, la funzione $f(t)$ in $[a(x),b(x)]$ è q.o. nulla.

Questo in generale è falso. Pensa alla funzione \(f(x) = 1/x^2\), che soddisfa le ipotesi date.
Ciò che è vero è che le code sono piccole...

[_fabricius_1]

Ci provo.

Dal fatto che \[\int_k^{+\infty}f(t) dt = \lim_{x\rightarrow + \infty}\int_k^x f(t)dt \] segue che \[\lim_{x\rightarrow + \infty}\int_x^{+ \infty}f(t) dt=0.\]
Sia \(\varepsilon >0 \). Esiste $M>k$ tale che \( \left| \int_x^{\infty}f(t) dt\right|<\varepsilon\) per $x>M$. Poiché sia $a$ che $b$ tendono a $+\infty$ per \(x\rightarrow x_0\) esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che \(\forall x\in U \colon a(x), b(x)>M\).
Dunque per ogni $x$ in $U$: \[ \left| \int_{a(x)}^{b(x)}f(t) dt\right| \le \left| \int_{a(x)}^{\infty}f(t) dt \right|+\left| \int_{b(x)}^{\infty}f(t) dt \right|<2\varepsilon.\]