[EX] - Sul Lemma di Gronwall
Ho il seguente esercizio con cui sto combattendo da un momento:
Sia \(f \in \mathcal{C} (\mathbb{R} )\) una funzione continua tale che \(t f(t) \ge 0 \) per ogni \(t \in \mathbb{R} \). Provare che il problema di Cauchy \[\begin{cases} g(x,y)=y'' + e^{-x} f(y) =0 \\ y(0)=y'(0)=0 \end{cases} \] ha come unica soluzione \(y=0\).
L'esercizio è corredato di un suggerimento: moltiplicare per \(e^x y' \) ed utilizzare il lemma di Gronwall.
Ora, il lemma di Gronwall si applica a funzioni continue che siano non negative e, viste le ipotesi del problema, possibili candidate potrebbero essere \(y f(y) \), oppure quest'ultima moltiplicata per esempio per un'esponenziale.
Se moltiplico a destra e a manca la legge dell'equazione differenziale per \(e^x y' \) ottengo \[g_{1}(x,y)=e^x y' y'' + y' f(y)=0 \]
L'idea che ho avuto è quella di utilizzare il lemma per ottenere una stima di sublinearità di \(g\) o di \(g_1\) che mi butti nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale - in realtà mi serve di più l'unicità che l'esistenza - (del resto bisognerebbe provare anche la locale lipschitzianità di \( g\),e in effetti non è molto chiaro cosa succeda...), ma dopo alcuni infruttuosi tentativi (per esempio cercando di far saltare fuori un \(y f(y) \) tramite integrazione per parti etc...) mi è parso di dover cambiare strada...
Qualcuno ha qualche idea da passarmi?
Ringrazio.
Sia \(f \in \mathcal{C} (\mathbb{R} )\) una funzione continua tale che \(t f(t) \ge 0 \) per ogni \(t \in \mathbb{R} \). Provare che il problema di Cauchy \[\begin{cases} g(x,y)=y'' + e^{-x} f(y) =0 \\ y(0)=y'(0)=0 \end{cases} \] ha come unica soluzione \(y=0\).
L'esercizio è corredato di un suggerimento: moltiplicare per \(e^x y' \) ed utilizzare il lemma di Gronwall.
Ora, il lemma di Gronwall si applica a funzioni continue che siano non negative e, viste le ipotesi del problema, possibili candidate potrebbero essere \(y f(y) \), oppure quest'ultima moltiplicata per esempio per un'esponenziale.
Se moltiplico a destra e a manca la legge dell'equazione differenziale per \(e^x y' \) ottengo \[g_{1}(x,y)=e^x y' y'' + y' f(y)=0 \]
L'idea che ho avuto è quella di utilizzare il lemma per ottenere una stima di sublinearità di \(g\) o di \(g_1\) che mi butti nelle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità globale - in realtà mi serve di più l'unicità che l'esistenza - (del resto bisognerebbe provare anche la locale lipschitzianità di \( g\),e in effetti non è molto chiaro cosa succeda...), ma dopo alcuni infruttuosi tentativi (per esempio cercando di far saltare fuori un \(y f(y) \) tramite integrazione per parti etc...) mi è parso di dover cambiare strada...
Qualcuno ha qualche idea da passarmi?
Ringrazio.
Risposte
Prova un po' a controllare quanto segue:
definisci \(F(y) := \int_0^y f(t) dt\), che per l'ipotesi data su \(f\) è una funzione non negativa di classe \(C^1\).
Poni \(v(x) := e^x y'(x)^2\); si ha \(v\geq 0\) e inoltre vale la disuguaglianza differenziale
\[
v(x) = - 2 F(y(x)) + \int_0^x v(t)\, dt \leq \int_0^x v(t)\, dt.
\]
A questo punto puoi applicare Gronwall per dedurre che \(v = 0\).
definisci \(F(y) := \int_0^y f(t) dt\), che per l'ipotesi data su \(f\) è una funzione non negativa di classe \(C^1\).
Poni \(v(x) := e^x y'(x)^2\); si ha \(v\geq 0\) e inoltre vale la disuguaglianza differenziale
\[
v(x) = - 2 F(y(x)) + \int_0^x v(t)\, dt \leq \int_0^x v(t)\, dt.
\]
A questo punto puoi applicare Gronwall per dedurre che \(v = 0\).
Certo che funziona. Infatti ora si può dedurre che \[v(x) \le \alpha e^{\beta(x- x_{0})}\] ove, nel nostro caso, \(\alpha=0\) e \(\beta=1\). Ne discende pertanto che \[e^x (y')^2 \equiv 0 \quad \Longleftrightarrow \quad y' \equiv 0\] e dalle condizioni iniziali se ne deduce che \[y \equiv 0\]
Grazie Rigel!
Grazie Rigel!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo