[EX] Successioni di naturali

[gugo82]

Esercizio:

1 (un classico). Sia $(n_k) \subseteq NN$ una successione strettamente crescente.
Dimostrare che:
\[
\forall k \in \mathbb{N},\ n_k\geq k\; .
\]

2. Esistono successioni di numeri naturali strettamente decrescenti?
Motivare adeguatamente la risposta.

[anto_zoolander]

1.

Se $(n_k)$ è crescente supponiamo che si possa partire da $0$ senza ledere la generalità.
Sia $n_0=a,a inNN$ si avrà che $n_0geq0$ e $n_1>n_0geq0$ da cui $n_1geq1$
Supposto che per $k$ si abbia $n_kgeqk$ allora $n_(k+1)>n_kgeqk$ da cui $n_(k+1)geqk+1$

2.

il ragionamento è simile al precedente
Se per assurdo esistesse una successione strettamente decrescente di naturali, sia essa $(n_k)_(k inNN)$ e sia $t$ il minimo intero positivo per cui la successione è definita, ponendo $n_t=a,ainNN^+$ sicuramente $n_(t+1)leqa-1$
Da cui $n_(t+2)n_(t+2)leqa-2$ procedendo si ottiene che $n_(t+a+1)<0$ ma $n_(t+a+1) inNN$ quindi non può essere strettamente decrescente

se $a=0$ al primo passo si ottiene l’assurdo

Idealmente è che preso un qualsiasi naturale $n$ e che sullo $0$ ci sia un palo, andando a ritroso quel palo ce lo dobbiamo prendere sempre

[Plepp]

"anto_zoolander":
2.

il ragionamento è simile al precedente
Se per assurdo esistesse una successione strettamente decrescente di naturali, sia essa $(n_k)_(k inNN)$ e sia $t$ il minimo intero positivo per cui la successione è definita, ponendo $n_t=a,ainNN^+$ sicuramente $n_(t+1)leqa-1$
Da cui $n_(t+2)n_(t+2)leqa-2$ procedendo si ottiene che $n_(t+a+1)<0$ ma $n_(t+a+1) inNN$ quindi non può essere strettamente decrescente

se $a=0$ al primo passo si ottiene l’assurdo

Idealmente è che preso un qualsiasi naturale $n$ e che sullo $0$ ci sia un palo, andando a ritroso quel palo ce lo dobbiamo prendere sempre

Oppure usa l'esercizio 1: $-n_k$ sarebbe strettamente crescente e quindi $-n_k\ge k$, cioè $n_k\le -k$, per ogni $k$.

[anto_zoolander]

Oppure usa l'esercizio 1: $-n_k$ sarebbe strettamente crescente e quindi $-n_k\ge k$, cioè $n_k\le -k$, per ogni $k$.

[ot]per la serie ‘si può sempre migliorare’ [/ot]