[EX] Studio qualitativo ODE

[Emar1]

Sono alle prese con gli studi qualitativi di ODE, e, quasi mi vergogno, ma sono molto imbranato. Per esempio ho questo esercizio, di cui ahimè non ho la soluzione.

\[\begin{cases} y'(t) = f(t,y) = \tanh{y} - \frac{1}{t^2} \\ y(1) = a\end{cases}\]

[list=1]
[*:3p68bu3k]Per quali valori di $a$ il problema ha una e una sola soluzione?[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Per quali valori di $a$ l’intervallo massimale si esistenza è $(0,\infty)$?[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Esistono valori di $a$ per i quali la soluzione del problema ha asintoti orizzontali? Verticali? Obliqui?[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Tracciare un grafico qualitativo della soluzione per qualche valore di $a$.[/*:m:3p68bu3k][/list:o:3p68bu3k]

Quel che farei io:
[list=1]
[*:3p68bu3k]Da quello che so questo avviene quando la funzione $f$ è Lipschitz continua uniformemente rispetto a $t$. Grazie agli dei dell'Olimpo la funzione è \(C^1\) nel suo dominio (che è $RR^2 \setminus \{t = 0\}$) e quindi è anche Lipschitz continua. Io risponderei \( \forall a \not = 0\)[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Non saprei, forse \(a > 0\)?[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Qui buio totale[/*:m:3p68bu3k]
[*:3p68bu3k]Troverei gli equilibri, e poi non saprei altro.[/*:m:3p68bu3k][/list:o:3p68bu3k]

Se qualcuno ha voglia di aiutarmi è il benvenuto

[ciampax]

Scusa Emar, forse sono io... ma dove sta $a$????

[Emar1]

Scusami tanto! Ora ho corretto