[EX] Studio di una serie

[gugo82]

Un esercizio veloce per chi prepara Analisi I.
È un po' tricky, ma è sfizioso assai... Probabilmente lo sfizio dipende dal delirio febbrile (Dottore, chiami un dottore!... Ho la febbra!), ma non si sa mai e perciò lo posto lo stesso.

***

Esercizio:

Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie:
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n + \cos n}\; .
\]

[theras]

@Gugo.

Mi sembrava d'averla vista da poco!

Auguri di pronta guarigione,e mi raccomando con le aranciate:
che siano di Sicilia !
Saluti dal web.

[gugo82]

@ theras: Non l'avevo minimamente vista!
Vabbé che ancora nessuno l'aveva risolta, quindi un minimo di senso l'esercizio ce l'ha ancora.

[theras]

Certo che ce l'ha
(anche perché se non l'avesse nell'immediato,vista la fonte,
ne avrà sicuramente uno in futuro ):
però io avevo già di fatto messo un hint nell'altro post,
che ad esempio il giovane Mario
(da poco entrato nel terzo decennio,beato lui..)
ha colto al volo!
Và beh:
ne approfitto per un OT(ma non troppo ..),
e ti chiedo se hai poi valutato la bontà di quanto ho scritto "sul" criterio di convergenza per le serie numeriche che hai postato,
credo un pò prima della test preselettivo,l'anno scorso
(naturalmente mi riferisco solo al fatto "tecnico",perché per il resto,
per la gioia di molti e di me tra i primi,
m'ero sbagliato di brutto ):
saluti dal web.

[gugo82]

Alla questione del criterio di convergenza, prima o poi ci ributterò un occhio, theras.

Per quanto riguarda l'hint, certo, esso può essere seguito con fiducia ché porta al risultato.
Però se ne può fare anche a meno (è questo che rende il problema godibile).

[Zero87]

E' tornato l'ot, cioè quel "testo nascosto, perché contrassegnato... ecc..." .
(grazie a gugo per la segnalazione di questa cosa, qualche tempo fa).

[ot]

"gugo82":Un esercizio veloce per chi prepara Analisi I.

Dal titolo stavo quasi per rispondere "gugo82 che chiede un esercizio: parla, che ne hai fatto del gugo vero?"

"gugo82":Dottore, chiami un dottore!... Ho la febbra!

Un male al quale non puoi sfuggire, guarda io ci ho provato nienteeeeee!!!
Il più bello, però, è "il vecchio conio".[/ot]

[theras]

Up:
ho il dubbio che possa farsi di meglio rispetto a quanto avevo visto,ma non vedo chiaro come ..
Saluti dal web.

[gugo82]

Spoilerizzo la soluzione.

La successione dei valori assoluti degli addendi è infinitesima di ordine \(1\), pertanto la serie non converge assolutamente.
Tuttavia, la serie assegnata è evidentemente a segni alterni, perciò si può provare ad utilizzare il classico criterio di convergenza di Leibniz per risolvere il problema della convergenza semplice.
Posto, come d'uso, \(a_n:=\frac{1}{n+\cos n}\), è immediato constatare che \(a_n>0\) e che \(\lim a_n=0\); quindi non rimane altro da fare che verificare la derescenza di \((a_n)\), cioè che \(a_{n+1}\leq a_n\) per ogni indice \(n\) (sufficientemente grande, al massimo).
Ma è:
\[
\begin{split}
a_{n+1}\leq a_n \quad &\Leftrightarrow \quad n+\cos n \leq (n+1)+\cos (n+1) \\
&\Leftrightarrow \quad \cos n -\cos (n+1) \leq 1 \\
&\Leftrightarrow \quad -2\ \sin \frac{n-(n+1)}{2}\ \sin \frac{n+(n+1)}{2} \leq 1 &\text{(4° formula di prostaferesi)}\\
&\Leftrightarrow \quad 2\ \sin \frac{1}{2}\ \sin \frac{2n+1}{2}\leq 1
\end{split}
\]
con l'ultima disuguaglianza vera per ogni indice \(n\), giacché risulta \(2\sin \frac{1}{2}\leq 1\) (per la nota disuguaglianza \(\sin x\leq x\), valida per \(x\geq 0\)) e \(\sin \frac{2n+1}{2}\leq 1\).
Conseguentemente, la successione \((a_n)\) è positiva, decrescente ed infinitesima e perciò la serie assegnata converge per il già citato criterio di Leibniz. \(\square\)

[theras]

Ed io che m'aspettavo,e cercavo,qualche impensabile trovata da ET in buona vena comunicativa con altre "civiltà"
(ovviamente gioco con l'oggetto del thread in Generale)!
Sospiro di sollievo,Gugo:
per questa volta sei andato sull'umano ..
saluti dal web.

[gugo82]

@ theras: Dopotutto, è un esercizio "per chi prepara Analisi I", no...