[EX] Somma di una serie

[gugo82]

Per chi sta preparando Analisi I, ma non solo...
Poi spiego il perchè.

***

Esercizio:

Calcolare:
\[
\pi -\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-\frac{\pi^6}{6!}+\cdots + (-1)^{n-1} \frac{\pi^{2n-2}}{(2n-2)!} +\cdots \; .
\]

[laura1232]

dovrebbe essere $pi-2$

[Covenant]

Analisi I l'ho dato ormai diversi anni fa ma fa nulla

Si chiede di calcolare la somma della serie: $ sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1)pi^(2n-2)/((2n-2)!) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1)pi^(2(n-1))/((2(n-1))!) $ e ponendo $k=n-1$ me la riscrivo come: $ sum_(k=0)^oo (-1)^k pi^(2k)/((2k)!)$.
Ora mi sono ricordato dello sviluppo in serie preconfezionato di $cosx$, e cioè: $cosx= sum_(k=0)^oo (-1)^kx^(2k)/((2k)!)$.
Quindi segue immediatamente: $ sum_(k=0)^oo (-1)^k pi^(2k)/((2k)!) = cospi = -1$.

[gugo82]

"laura123":dovrebbe essere $pi-2$

Esatto.

Tra l'altro sembra che lo sappiano tutti meno quelli che preparano i test del TFA: infatti, questo era uno dei quesiti nel questionario di oggi e le alternative proposte come possibili risposte erano tutte e quattro sbagliate.

[Covenant]

Ok avevo letto male il testo, in particolare il primo termine della serie. Ora mi trovo con il risultato. Possibile che nel test abbiano sbagliato proprio questo? magari la pensavano come la serie che ho calcolato nel post sopra.

[lordb]

Già dato Analisi I e II, ma è sempre piacevole

$cos(x)=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)+....$
$cos(x)-1=-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)+....$
$cos(x)-1+pi=pi-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)+....$

${(cos(pi)-1+pi=pi-pi^2/(2!)+pi^4/(4!)-pi^6/(6!)+....),(cos(pi)-1+pi=pi-2):}$

Quindi $pi-2=pi-pi^2/(2!)+pi^4/(4!)-pi^6/(6!)+....$

[Thomas16]

davvero ci si chiede quante persone facciano questi conti.... una svista ad uno può sempre capitare, ma dovrebbe esserci un cross-checking no?... Si spera in un errore di stampa mi sembra più onorevole....