[EX] - Serie: no al criterio dell'integrale! :D
\[ \sum^\infty_{n=1}\underbrace{\dfrac{\ln(n^7)}{n^\alpha}}_{=:a_n} \]Ho da studiare la serie
\[\sum^\infty_{n=1}\dfrac{\ln(n^7)}{1+n^\alpha}\tag{S}\]
al variare del parametro $\alpha\in RR$.
Mi libero preliminarmente di quell'$1$ che mi è un po' antipatico: per il criterio del confronto asintotico la mia serie ha lo stesso carattere della serie
\[\sum^\infty_{n=1}\underbrace{\dfrac{\ln(n^7)}{n^\alpha}}_{=:a_n}\]
Elimino subito i casi banali: per $\alpha\le 0$, $a_n$ diverge, e lo stesso fa la serie. Se $\alpha\in ]0,1]$, $a_n$ è minorata da $1/\n^\alpha$, quindi la serie diverge, dal momento che $\sum 1/n^\alpha$ diverge.
Veniamo al dunque...non trovando altre vie, ho pensato che per stabilire il carattere di $("S")$ si dovesse usare, nel caso $\alpha>1$, il criterio dell'integrale (mi è parso l'unico che potesse funzionare). Non avendo voglia di fare calcoli (
), ho provato a ragionare così: se $\alpha>1$, esiste un $\epsilon>0$ tale che $\alpha-\epsilon>1$. Inoltre per ogni $\epsilon>0$ si ha definitivamente
\[\ln(n^7)=7\ln(n)
\[\dfrac{7\ln(n)}{n^\alpha}<\dfrac{n^\varepsilon}{n^\alpha}=\dfrac{1}{n^{\alpha-\varepsilon}}\]
Per quanto detto la serie $\sum \frac{1}{n^{\alpha-\varepsilon}}$ converge, quindi anche $("S")$ converge.
Ho detto fandonie?
\[\sum^\infty_{n=1}\dfrac{\ln(n^7)}{1+n^\alpha}\tag{S}\]
al variare del parametro $\alpha\in RR$.
Mi libero preliminarmente di quell'$1$ che mi è un po' antipatico: per il criterio del confronto asintotico la mia serie ha lo stesso carattere della serie
\[\sum^\infty_{n=1}\underbrace{\dfrac{\ln(n^7)}{n^\alpha}}_{=:a_n}\]
Elimino subito i casi banali: per $\alpha\le 0$, $a_n$ diverge, e lo stesso fa la serie. Se $\alpha\in ]0,1]$, $a_n$ è minorata da $1/\n^\alpha$, quindi la serie diverge, dal momento che $\sum 1/n^\alpha$ diverge.
Veniamo al dunque...non trovando altre vie, ho pensato che per stabilire il carattere di $("S")$ si dovesse usare, nel caso $\alpha>1$, il criterio dell'integrale (mi è parso l'unico che potesse funzionare). Non avendo voglia di fare calcoli (
), ho provato a ragionare così: se $\alpha>1$, esiste un $\epsilon>0$ tale che $\alpha-\epsilon>1$. Inoltre per ogni $\epsilon>0$ si ha definitivamente\[\ln(n^7)=7\ln(n)
\[\dfrac{7\ln(n)}{n^\alpha}<\dfrac{n^\varepsilon}{n^\alpha}=\dfrac{1}{n^{\alpha-\varepsilon}}\]
Per quanto detto la serie $\sum \frac{1}{n^{\alpha-\varepsilon}}$ converge, quindi anche $("S")$ converge.
Ho detto fandonie?
Risposte
si dimostra anche applicando, ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy alla serie
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^{\alpha} }\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n\ln 2^n}{2^{n\alpha}}&=\sum_{n=1}^\infty \frac{n\ln 2}{2^{n\alpha-n} }=\ln 2\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n(\alpha-1)} }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1 & \mbox{converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1 & \mbox{diverge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1 & \mbox{diverge }
\end{cases}.
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^{\alpha} }\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n\ln 2^n}{2^{n\alpha}}&=\sum_{n=1}^\infty \frac{n\ln 2}{2^{n\alpha-n} }=\ln 2\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n(\alpha-1)} }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1 & \mbox{converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1 & \mbox{diverge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1 & \mbox{diverge }
\end{cases}.
\end{align*}
ciao! ho finito ora di studiare la teoria sulle serie e come primo esercizio ho fatto proprio questo!
a me sembra che tu abbia ragionato bene, anche se non ho alcuna competenza per dartene la certezza, inoltre io l'ho fatto con il Criterio Di Condensazione e mi viene uguale a te, ossia $\alpha>1$
magari qualcun'altro ci potrebbe dare conferma
EDIT: non avevo letto il messaggio di noisemaker! perfetto allora!
a me sembra che tu abbia ragionato bene, anche se non ho alcuna competenza per dartene la certezza, inoltre io l'ho fatto con il Criterio Di Condensazione e mi viene uguale a te, ossia $\alpha>1$
magari qualcun'altro ci potrebbe dare conferma
EDIT: non avevo letto il messaggio di noisemaker! perfetto allora!
Ciao ragazzi
@Noisemaker: Grazie Noise, ma purtroppo non ho ancora studiato il criterio di condensazione (non l'ho trovato nei libri per ora, e a lezione non ci è stato spiegato
)
Comunque, ho pensato anche di applicare il criterio del confronto asintotico in questo modo. Si ha
\[\forall\alpha>1 \qquad \lim_n \dfrac{\dfrac{\ln(n^7)}{n^\alpha}}{\dfrac{1}{n^{(\alpha+1)/2}}}=0\]
ed essendo $(\alpha+1)/2>1$ si ha che la serie data converge (l'idea di fondo, comunque, è quella di prima). Che ne dite?
@Noisemaker: Grazie Noise, ma purtroppo non ho ancora studiato il criterio di condensazione (non l'ho trovato nei libri per ora, e a lezione non ci è stato spiegato
)Comunque, ho pensato anche di applicare il criterio del confronto asintotico in questo modo. Si ha
\[\forall\alpha>1 \qquad \lim_n \dfrac{\dfrac{\ln(n^7)}{n^\alpha}}{\dfrac{1}{n^{(\alpha+1)/2}}}=0\]
ed essendo $(\alpha+1)/2>1$ si ha che la serie data converge (l'idea di fondo, comunque, è quella di prima). Che ne dite?
ho un'idea
Potresti confrontarla con questa serie campione $\sum_2^(+\infty) (1)/(n^p \ln^q (n))$
che questa converge solamente quando $p>1,\forall q$ oppure $p=1, q>1$ (la dimostrazione la si trova sui libri di analisi)
Puoi fare prendi la tua serie $\sum_1^(+\infty) (\ln(n^7))/(n^\alpha)=\sum_1 (7 \ln(n))/(n^\alpha)=7\sum_1 (1)/(n^\alpha\cdot \ln^(-1)(n))$
ok ed hai concluso che CONVERGE per $\alpha >1$ per confronto con la serie campione
p.s.: alcuni denominato quella serie campione come serie di Abel
Potresti confrontarla con questa serie campione $\sum_2^(+\infty) (1)/(n^p \ln^q (n))$
che questa converge solamente quando $p>1,\forall q$ oppure $p=1, q>1$ (la dimostrazione la si trova sui libri di analisi)
Puoi fare prendi la tua serie $\sum_1^(+\infty) (\ln(n^7))/(n^\alpha)=\sum_1 (7 \ln(n))/(n^\alpha)=7\sum_1 (1)/(n^\alpha\cdot \ln^(-1)(n))$
ok ed hai concluso che CONVERGE per $\alpha >1$ per confronto con la serie campione
p.s.: alcuni denominato quella serie campione come serie di Abel
.... che si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy 
"21zuclo":
ho un'idea
Potresti confrontarla con questa serie campione $\sum_2^(+\infty) (1)/(n^p \ln^q (n))$
che questa converge solamente quando $p>1,\forall q$ oppure $p=1, q>1$ (la dimostrazione la si trova sui libri di analisi)
Puoi fare prendi la tua serie $\sum_1^(+\infty) (\ln(n^7))/(n^\alpha)=\sum_1 (7 \ln(n))/(n^\alpha)=7\sum_1 (1)/(n^\alpha\cdot \ln^(-1)(n))$
ok ed hai concluso che CONVERGE per $\alpha >1$ per confronto con la serie campione
p.s.: alcuni denominato quella serie campione come serie di Abel
Grazie 21zuclo, non conoscevo questa serie
(Lorenzo, se non ricordo male ) La dimostrazione si può fare anche usando il criterio dell'integrale, che appunto è quello che volevo evitare 
"Noisemaker":
.... che si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
ottima dimostrazione!
sul mio libro di analisi 1, la dimostra in modo strano. Applica il criterio di condensazione ad un pezzo, lo applica quando fa il caso $q>0$. In pratica per dimostrare quella serie divide per casi. 
Boh!.. È più semplice come hai fatto tu!
@Plepp
sì ti ricordi bene il mio nome!
"21zuclo":
ottima dimostrazione!
Probabilmente l'autore del tuo libro si accerta che siano soddisfatte le ipotesi del criterio di condensazione prima di utilizzarlo (nella fattispecie, che il termine generale della serie sia non negativo e non crescente).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo