[Ex] Serie Doppia

[Noisemaker]

Calcolare la somma della serie :

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{m^2n+mn^2+2mn}
\end{align*}

Osserviamo che il termine generale lo possiama scrivere come :

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{m^2n+mn^2+2mn}=\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{mn(m+n+2)}=\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{n}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{m(m+n+2)}=
\end{align*}

utilizzando la scomposizione in fratti semplici, considerando $n$ come costante, in quanto siamo all'interno della sommatoria che dipende da $m,$ otteniamo:

\begin{align*}
\frac{1}{m(m+n+2)}= \frac{A}{m }+ \frac{B}{ m+n+2 }&=\frac{A(m+n+2 )+ B m}{m(m+n+2)}=\frac{Am+An+2A + Bm}{m(m+n+2)}\\
&=\frac{m(A+B)+An+2A}{m(m+n+2)}\\
&=\begin{cases}A+B=0\\A(n+2)=1\end{cases}=\begin{cases} A=\frac{1}{n+2}\\B=-\frac{1}{n+2}\end{cases}
\end{align*}

allora la serie diviene :

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{n}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{m(m+n+2)}&=\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{n}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\, \frac{\frac{1}{n+2}}{m}- \frac{\frac{1}{n+2}}{ m+n+2 }=\sum_{n=1}^{+\infty}\,\,\frac{1}{n(n+2)}\,\,\sum_{m=1}^{+\infty}\,\, \frac{1}{m}- \frac{1}{ m+n+2 }
\end{align*}

A questo punto, la serie interna dovrei "telescopizzarla" ... ma o guardo senza vedere cosa realmente c'è scritto, o mi sto perdendo in un bicchier d'acqua oppure sono lontano ...

mi date un Hint?

[Rigel1]

A me viene \(7/4\). Non so se ho usato il metodo più rapido; comunque, ho fatto inizialmente un cambio di indice del tipo \(s = n+m\), scrivendo la serie come
\[
\sum_{s=2}^{\infty}\frac{1}{s+2}\sum_{n=1}^{s-1}\frac{1}{n(s-n)}
\]

Edit: cancellati i successivi due spoiler (non si nascondono più...)

[Noisemaker]

grazie provo a telescopizzare cosi ....

[Noisemaker]

... grazie
ero distante $772,9$ anni luce ...

[Rigel1]

Visto che hai fatto, metto quelli che avrebbero dovuto essere gli altri hint
Tieni conto che, in queste serie doppie, il cambio di indice con la somma (per sommare per diagonali anziché per righe o colonne) è un trucco piuttosto usato.

Hint 2:

\[=\sum_{s=2}^{\infty}\frac{2}{s(s+2)}\sum_{n=1}^{s-1}\frac{1}{n}\]

Hint 3:

scambia gli indici di somma:
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sum_{s=n+1}^{\infty}\frac{2}{s(s+2)} =
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+2)}\right] = \cdots = \frac{7}{4}
\]

[Noisemaker]

gia che ci sono , ti chiedo se conosci qualche pagina in rete che spiega queta tecnica per sommare per diagonali anziché per righe o colonne che non conosco ... ...mi io sono arrangiato con quel (poco) che so.

[Rigel1]

In realtà no.
Però non c'è molto di più da capire rispetto a quanto visto in questo esercizio.
Nella sezione "Pensare un po' di più" c'è un altro esempio di questo tipo (mi sembra proposto da Martino qualche mese fa, se non ricordo male).

[Noisemaker]

grazie provo a cercare quell' esempio!

[Rigel1]

Se ti va guarda qui:
viewtopic.php?f=40&t=103659&hilit=serie+doppia

[Noisemaker]

grazie mille!