[ex] serie di potenze
Chiedo un suggerimento per impostare questo problema.
Dimostrare che vale la seguente uguaglianza nell'insieme di convergenza:
$ sum_(n=1)^(+oo)x^n/(n+1)=-log(1-x)/x $
L'unica cosa che mi viene in mente, sulla scorta di un esercizio più semplice già svolto, è derivare termine a termine la serie aspettandomi che converga proprio alla derivata della funzione al secondo membro.
Ma la serie derivata mi risulta $ sum_(n=1)^(+oo)(n/(n+1))x^(n-1)$, mentre $(d(log(1-x)/x))/dx = (x-2)/(x(x-1)) $, espressioni che non riesco a collegare fra loro.
Qualcuno ha un'idea?
(NB: delle serie di potenze ho fatto solo il teorema di regolarità, quindi se l'esercizio richiede altri
teoremi niente da fare...)
Dimostrare che vale la seguente uguaglianza nell'insieme di convergenza:
$ sum_(n=1)^(+oo)x^n/(n+1)=-log(1-x)/x $
L'unica cosa che mi viene in mente, sulla scorta di un esercizio più semplice già svolto, è derivare termine a termine la serie aspettandomi che converga proprio alla derivata della funzione al secondo membro.
Ma la serie derivata mi risulta $ sum_(n=1)^(+oo)(n/(n+1))x^(n-1)$, mentre $(d(log(1-x)/x))/dx = (x-2)/(x(x-1)) $, espressioni che non riesco a collegare fra loro.
Qualcuno ha un'idea?
(NB: delle serie di potenze ho fatto solo il teorema di regolarità, quindi se l'esercizio richiede altri
teoremi niente da fare...)
Risposte
Non so se sia valido pero' si potrebbe scrivere la serie relativa alla funzione di destra (tenendo conto che la serie di $ log(1+x) $ e' nota e poi studiare la convergenza...
Nota poi che la derivata e'
$ d/dx log(1-x)/x=(-x/(1-x)-log(1-x))/x^2 $
Nota poi che la derivata e'
$ d/dx log(1-x)/x=(-x/(1-x)-log(1-x))/x^2 $
Penso sia valido, trattandosi di uno sviluppo "famoso".
$- log(1-x) = x + x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)$
$- log(1-x) /x= 1 + x/2 + x^2/3 + o(x^2)$, la cui derivata è proprio uguale alla serie derivata $ sum_(n=1)^(+oo)(n/(n+1))x^(n-1) $!
Mi convince, ostrogoto, grazie
$- log(1-x) = x + x^2/2 + x^3/3 + o(x^3)$
$- log(1-x) /x= 1 + x/2 + x^2/3 + o(x^2)$, la cui derivata è proprio uguale alla serie derivata $ sum_(n=1)^(+oo)(n/(n+1))x^(n-1) $!
Mi convince, ostrogoto, grazie
Scusa ma sono io che non capisco cosa c'entri la derivata... 
per me l'esercizio e' concluso in quanto la serie di Taylor della funzione a destra (che tra l'altro e' unica) coincide con il membro a sinistra e quindi l'uguaglianza e' dimostrata...
al massimo studiamo l'insieme di convergenza.
per me l'esercizio e' concluso in quanto la serie di Taylor della funzione a destra (che tra l'altro e' unica) coincide con il membro a sinistra e quindi l'uguaglianza e' dimostrata...
al massimo studiamo l'insieme di convergenza.
Partendo dalla serie si può scrivere
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n+1}=\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cdot (-x)^{n-1}}{n}=\\
=-\frac{1}{x}\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-x)^n}{n}=-\frac{1}{x}\left[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-x)^n}{n}+x\right]=\\ -\frac{1}{x}\left[\log(1-x)+x\right]$$
che è quella corretta (tra l'altro, ci vuole poco ad accorgersi che lo sviluppo della funzione scritta da jitter ha come primo termine una costante che non appare in nessun modo nella serie)
Ho il dubbio però che la serie parta da $n=0$, vero jitter?
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n+1}=\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cdot (-x)^{n-1}}{n}=\\
=-\frac{1}{x}\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-x)^n}{n}=-\frac{1}{x}\left[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(-x)^n}{n}+x\right]=\\ -\frac{1}{x}\left[\log(1-x)+x\right]$$
che è quella corretta (tra l'altro, ci vuole poco ad accorgersi che lo sviluppo della funzione scritta da jitter ha come primo termine una costante che non appare in nessun modo nella serie)
Ho il dubbio però che la serie parta da $n=0$, vero jitter?
@ostrogoto: è come dici tu, non c'entrava nulla la derivata, mi ero fissata senza riflettere su un esercizio precedente. Nel contesto in cui è presentato l'esercizio (http://users.dma.unipi.it/bonanno/Compi ... otenze.pdf) il procedimento "atteso" potrebbe essere quello indicato da ciampax (a cui non credo sarei arrivata da sola), ma mi sembrano entrambi corretti.
@ciampax: sì, la serie cominciava da 0!
@ciampax: sì, la serie cominciava da 0!
Ah ecco. Allora se rifai lo stesso ragionamento che ho fatto io non hai più bisogno di inserire il termine $+x$ in parentesi quadra.
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