Ex: Serie di Mac-Laurin

kotek
Ciao a tutti,
dovrei trovare la serie di Mac-Laurin associata alla seguente funzione:
$f(x)=(2-x^2)/(1+x)^2$

Io avevo pensato nel seguente modo:

$D(1/(1+x))=-1/(1+x)^2$

Poichè $1/(1+x)=sum_(n=0)^(+oo)(-1)^nx^n$ naturalmente con $|x|<1$

derivando ottengo:

$-1/(1+x)^2=sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n nx^(n-1)$

In seguito poiché $(x^2-2)$ è una costante posso moltiplicare ambo i membri per tale valore e ottengo:

$(2-x^2)/(1+x)^2=sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n nx^(n-1)(x^2-2)$

$(2-x^2)/(1+x)^2=sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n nx^(n+1)+2sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)nx^(n-1)$

$(2-x^2)/(1+x)^2=2 + sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n nx^(n+1)+2sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)nx^(n-1)$

Sul libro mi da la seguente soluzione, ma non riesco a capire cosa posso fare per arrivarci:

$f(x)=2+sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)(n+2)x^(n-1)$

Qualcuno mi può dare una mano?

Risposte
Zero87
"kotek":
dovrei trovare la serie di Mac-Laurin associata alla seguente funzione:
$f(x)=(2-x^2)/(1+x)^2$


Io l'ho pensata così:
$f(x)= (2-x^2)/(1+x)^2=-(x^2-2)/(1+x)^2=-(x^2-1-1)/(1+x)^2=-(-1)/(1+x)^2-(x^2-1)/(1+x)^2=$
$=1/(1+x)^2-(x-1)/(x+1)=1/(1+x)^2-(x+1-2)/(x+1)=1/(1+x)^2+2/(x+1)-1$

A questo punto, come hai detto tu (mi fido, perché non ho tempo per controllare! :D)
$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^n$
$\frac{1}{(1+x)^2}=-\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n n x^(n-1)$

Sommando il tutto si ottiene
$f(x)=1/(1+x)^2+2/(x+1)-1=-1-\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n nx^(n-1)+2\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^n=-1-\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^(n+1) (n+1)x^n+2\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^n=$
$-1+\sum_{n=0}^{+\infty}(-((-1)^(n+1) n x^n)+2((-1)^nx^n))=-1+\sum_{n=0}^{+\infty}(x^n(-((-1)^(n+1) n )+2((-1)^n)))=$

Adesso noto che $-(-1)^(n+1)n+2(-1)^n=(n+2)(-1)^(n)$ perché $-(-1)^(n+1)=(-1)(-1)^(n+1)=(-1)^(n+2)=(-1)^n$

$=-1-3\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n (n+2) x^n$ che non riporta :-|

[EDIT]
Posso, però andare avanti.
$-1-3\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n (n+2) x^n=-1+3\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^(n+1) (n+2) x^n=$
$=-1+3\cdot (-1)^1\cdot 2+3\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^(n+1) (n+2) x^n=-7+3\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^(n) (n+1) x^(n-1)$
Che continua a non riportare, però si avvicina un pochetto.

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